Introdução
Nesta lição, você aprenderá a calcular a área de um círculo.
Este vídeo ilustra o material da lição abaixo. Assistir ao vídeo é opcional.
A Área de um Círculo
A fórmula da área de um círculo é: \begin{align*} Área=\pi(r)^2\end{align*}
- O símbolo \(\pi\) representa pi, ou o número 3.1459265359…
- O r significa raio. O raio é a linha reta do centro até a circunferência de um círculo.
- O \(r^2\) significa raio ao quadrado; tudo o que estiver incluído deve ser duplicado.
Se a área é uma quantidade de quadrados unitários dentro de uma forma, quantos quadrados cabem em um círculo? Como os quadrados não se encaixam uniformemente nos círculos, você normalmente não obtém uma resposta uniforme ao procurar a área de um círculo. Você também deve usar \( \pi \) (pi).
Exemplo 1
Encontre a área de um círculo cujo raio é de 25 centímetros (cm).
Figura 1
Escreva o problema assim: \(Área=\pi(25\space cm)^2\). Observe que a unidade de medida está entre parênteses, o que significa que ela também será elevada ao quadrado. A área é medida em unidades que são elevadas ao quadrado, então você deve elevar o número e a unidade ao quadrado.
\begin{align*} & Área=\pi(r)^2 & \color{navy}\small\text{Fórmula da área de um círculo}\\\\ & Área=\pi(25\space cm)^2 & \color{navy}\small\text{Substitua os termos dados}\\\\ & Área=\pi(625\space cm^2) & \color{navy}\small\text{Resolva os expoentes}\\\\ & Área=1963.5\space cm^2 & \color{navy}\small\text{Multiplique}\\\\ \end{align*}
Lembre-se de que a maioria das calculadoras terá um botão que inserirá o \(pi\) automaticamente para você. Você também pode multiplicar por 3.14. Em seguida, simplifique a resposta, arredondando o resultado. A resposta acima é arredondada para o décimo mais próximo.
Exemplo 2
Encontre a área de um círculo cujo raio é de 12.5 cm.
Figura 2
\begin{align*} & Área=\pi(r)^2 & \color{navy}\small\text{Fórmula da área de um círculo}\\\\ & Área=\pi(12.5\space cm)^2 & \color{navy}\small\text{Substitua os termos dados}\\\\ & Área=\pi(156.25\space cm^2) & \color{navy}\small\text{Resolva os expoentes}\\\\ & Área=490.9\space cm^2 & \color{navy}\small\text{Multiplique}\\\\ \end{align*}
Arredondada para o décimo mais próximo, a área deste círculo é \(490.9cm^2\).
Conclusão
Pode ser interessante notar que, embora o círculo no Exemplo 1 tenha um raio duas vezes maior que o círculo no Exemplo 2, suas áreas não funcionam da mesma maneira. O círculo maior tem uma área quase quatro vezes maior que o círculo menor.
Figura 3
Lembre-se
- A fórmula da área de um círculo é \( A=\pi(r)^2\).
- O raio de um círculo é encontrado com a medição do centro do círculo até a circunferência. (Também tem metade do tamanho do diâmetro.)
Formatos Matemáticos Padrão Usando o Pi
Quando pi faz parte de uma solução, há duas maneiras de exibi-la. A primeira maneira é escrever a parte numérica da solução multiplicada por pi, como \( 13\pi pés \) ou \( 5.3\pi cm\). Geralmente, você escreve o número, depois pi e depois as unidades.
A segunda maneira de mostrar sua solução é multiplicar a parte numérica da solução por pi e depois arredondar o resultado para um valor posicional apropriado. (Exemplo: \( 13\pi pés = 40.84 pés \), arredondado para o centésimo mais próximo.)
Neste curso, você sempre multiplicará pi na solução e arredondará para um valor posicional apropriado. Saiba que o outro método é comumente usado, e você pode vê-lo em livros didáticos ou outras aulas como uma forma padrão de escrever soluções quando pi está envolvido.
Problemas Práticos
- Um círculo tem um raio de 21.5. Encontre a área do círculo. Arredonde para o décimo mais próximo. (
- Um botão tem o formato de um círculo. Se o raio do botão for 7 mm, encontre a área da superfície superior do botão. Arredonde para o centésimo mais próximo. (
- Uma pista de pouso de helicóptero tem um diâmetro de 28 metros ou um raio de 14 metros. Encontre a área da superfície da pista de pouso. Arredonde a resposta para o número inteiro positivo ou número natural mais próximo. (
Detalhes:
Você está tentando encontrar a área do heliporto, que tem o formato de um círculo. Como a almofada é circular, você pode usar a fórmula da área de um círculo:
\({\text{A}} = {\text{π}} {\text{ r}}^{2}\)
A primeira coisa a fazer é substituir ‘r’ por 14m:
\({\text{A}} = {\text{π}} (14{\text{m}})^{2}\)
Em seguida, eleve 14 m ao quadrado (ou multiplique \(14 \times 14\)) para obter \(196 {\text{m}}^{2}\):
\({\text{A}} = {\text{π}} 196{\text{m}}^{2}\)
Como você pode multiplicar em qualquer ordem, você pode trocar a ordem de 196 e \({\text{π}}\) e escrever a área assim:
\({\text{A}} = 196 {\text{π}} {\text{ m}}^{2}\)
Para escrever a área como um decimal, multiplique 196 por \({\text{π}}\) para obter:
\({\text{A}} = 615.7521601... {\text{m}}^{2}\)
A área da pista de pouso do helicóptero é de aproximadamente \(616 {\text{m}}^{2}\) quando arredondada para o número inteiro positivo ou número natural mais próximo. - Uma pedra é jogada em um lago e cria ondulações circulares que se irradiam para longe do centro. Em um ponto, a maior ondulação tem um raio de 7.25 pés. Encontre a área da superfície da ondulação. Arredonde para o décimo mais próximo. (
Detalhes:
Você está tentando encontrar a área dentro da ondulação maior. Como as ondulações são circulares, você pode usar a fórmula da área de um círculo:
\({\text{A}} = {\text{π}} {\text{ r}}^{2}\)
Primeiro, substitua ‘r’ por 7.25 pés
\({\text{A}} = {\text{π}} (7.25 {\text{pés}})^{2}\)
Em seguida, eleve 7.25 pés ao quadrado para obter:
\({\text{A}} = {\text{π}} 52.5625 {\text{pés}}^{2}\)
Você pode trocar a ordem de 52.5625 e \({\text{π}}\), já que pode multiplicar em qualquer ordem.
\({\text{A}} = 52.5625 {\text{π}} {\text{ pés}}^{2}\) (Este é um formato matemático padrão.)
Se necessário, você pode multiplicar \({\text{π}}\) por 52.5625 para obter:
\({\text{A}} = 165.129963854... {\text{pés}}^{2}\)
A área circular dentro da ondulação é de aproximadamente \(165.1 {\text{pés}}^{2}\) quando arredondada para o décimo mais próximo. - Um frisbee é um disco circular lançado para frente e para trás entre os participantes em um jogo. Se o raio do frisbee for de 5 polegadas, encontre a área da superfície da parte superior do frisbee. Arredonde para o décimo mais próximo. (
- Uma torre de celular tem a capacidade de fornecer serviço a uma região circular com um raio de 40.3 milhas. Encontre a área total da superfície da zona de cobertura. Arredonde para o centésimo mais próximo. (