Introdução

Nesta lição, você aprenderá a calcular a área de um triângulo.

Este vídeo ilustra o material da lição abaixo. Assistir ao vídeo é opcional.

• Área de um Triângulo | Transcrição

A Área de um Triângulo

Um triângulo é apenas metade de um retângulo. Para encontrar a área de um triângulo, encontre a área do retângulo em que o triângulo se encaixa e divida por 2.

Veja aqui algumas palavras de vocabulário para te ajudar na lição.

• Base: A largura de um triângulo.
• Perpendicular: 2 linhas que se tocam em um ângulo de 90 graus.
• Lados Adjacentes: Os lados de uma forma que se encontram em um canto.

Antes de aprender sobre a área de um triângulo, considere o retângulo abaixo.

A área de um retângulo é a base multiplicada pela altura. Você também pode dizer que é o comprimento multiplicado pela largura, ou \(A = (l)(w)\).

Figura 1

No caso acima, se o comprimento for 10 e a largura for 5, a área do retângulo é:

\begin{align*} A&=10\times5\\\\ A &=50\end{align*}

E se você tivesse um pedaço de papel do mesmo formato do retângulo da Figura 1 e o dobrasse do canto superior esquerdo até o canto inferior direito? Você verá dois triângulos dentro do retângulo (ver Figura 2). Considere um desses triângulos. Considerando que a área de um retângulo é o comprimento vezes a largura, a área de um triângulo é:

\begin{align*} A = \frac{1}{2}(l)(w)\end{align*}

Figura 2

Muitas vezes, as pessoas se referem ao comprimento e à largura de um triângulo como base e altura, então a equação é escrita como: \begin{align*} A=\frac{1}{2}(b)(h) \end{align*}

Como a equação envolve apenas multiplicação, qualquer um dos catetos ou lados do triângulo pode ser a base ou a altura.

Figura 3

Exemplo 1

Um triângulo tem lados medindo 5 unidades e 10 unidades. Calcule a área.

\begin{align*}A&= \frac{1}{2}bh \;\;\;\;\text{ou}\;\; \;\;A= \frac{1}{2}lw &\color{navy}\small\text{Fórmula da área de um triângulo}\\\\A&= \frac{1}{2}(10)(5) &\color{navy}\small\text{Substitua \(b=l=10\) e \(h=w=5\)}\\\\ A&= \frac{1}{2}(50) &\color{navy}\small\text{Multiplique: \(10\times 5 = 50\)} \\\\ A&= 25\ unidades &\color{navy}\small\text{Metade de 50 é 25}\\\ \end{align*}

A área do triângulo na Figura 3 é 25 unidades quadradas.

Conceitualmente, para que esta fórmula funcione, a base e a altura devem ser perpendiculares entre si. Linhas perpendiculares são duas linhas (destacadas em dourado na Figura 4) que formam um ângulo de 90 graus. O símbolo do ângulo reto (∟) no canto indica um ângulo de 90 graus.

Figura 4

A Figura 5 mostra um triângulo em que nenhuma das arestas é perpendicular entre si. De acordo com o conceito da fórmula até agora nesta lição, para que a fórmula funcione, você precisaria que a base e a altura fossem perpendiculares.

Entretanto, os pontos a seguir mostram a relação do triângulo na Figura 5 com um retângulo. Ao olhar para cada ponto, você verá que o triângulo na Figura 5 já é, na verdade, metade da área do retângulo. Isto significa que você ainda pode usar a fórmula para encontrar a área do triângulo na Figura 5

Figura 5

• Primeiro, faça com que a parte inferior do triângulo seja a base do retângulo.
• Em seguida, imagine uma linha perpendicular a essa base que tenha apenas a mesma altura do vértice, ou ponto, do outro lado do triângulo. Esta será a altura.
• Agora você tem uma base e uma altura que são perpendiculares entre si.

Figura 6

• Se fosse um retângulo com a mesma base e altura, seria mais ou menos assim:

Figura 7

• A área total deste retângulo é a base multiplicada pela altura. Se você dobrar esses outros triângulos que fazem parte do retângulo no triângulo original, poderá ver que o triângulo original é, na verdade, metade do retângulo inteiro.

Figura 8

Figura 9

Exemplo 2

Um triângulo tem uma altura de 3 polegadas e uma base de 4 polegadas. Calcule a área do triângulo.

\begin{align*}A&= \frac{1}{2}bh &\color{navy}\small\text{Fórmula da área de um triângulo}\\\\A&= \frac{1}{2}(4)(3) &\color{navy}\small\text{Substitua os termos dados}\\\\ A&= \frac{1}{2}(12) &\color{navy}\small\text{Multiplique} \\\\ A&= 6 \space polegadas^2 &\color{navy}\small\text{Multiplique}\\\ \end{align*}

A área do triângulo é \(6pol.^2\).

Lembre-se

• A fórmula da área de um triângulo é \(A =\frac{1}{2}(b)(h)\).
• Lembre-se de que a área de um triângulo é igual à área de um retângulo ou quadrado dividida por dois se eles tiverem as mesmas medidas de comprimento e largura.

1. Um triângulo tem uma base de 10 mm e uma altura de 12 mm. Use a fórmula da área de um triângulo para determinar a área deste triângulo.(
   Solução

   x

   Solução: \(60 \text{ mm}^{2}\)
   )
2. Um triângulo tem uma base de 5 polegadas e uma altura de 7 polegadas. Use a fórmula da área de um triângulo para determinar a área deste triângulo. Arredonde para o décimo mais próximo. (
   Solução

   x

   Solução: \(17.5 \text{ pol.}^{2}\)
   Detalhes:
   Você quer encontrar a área de um triângulo com uma base de 5 pol. e uma altura de 7 pol.
   
   
   Uma coisa que pode te ajudar a encontrar a área de um triângulo é observar um retângulo com lados iguais à base e à altura, cortado ao meio da seguinte maneira:
   
   
   Como você pode ver, a área do triângulo é metade da área do retângulo com o mesmo comprimento e largura. Para encontrar a área de um retângulo, multiplique a \(\color{blue} \text{largura}\) pelo \(\color{red} \text{comprimento}\). Para encontrar a área do triângulo, multiplique a largura pelo comprimento e depois divida por dois.
   
   
   \({\text{A}}=\dfrac{1}{2}({\text{b}}\times {\text{h}})\) (Observe como a \(\color{blue} \text{largura}\) e o \(\color{red} \text{comprimento}\) na fórmula do triângulo se tornam a \(\color{red} \text{base}\) e a \(\color{blue} \text{altura}\). Essas palavras são usadas de forma intercambiável.)
   
   
   
   \({\text{A}}=\dfrac{1}{2}(5\times 7)\)
   
   
   
   \({\text{A}}=\dfrac{1}{2}(35)\)
   
   
   
   \({\text{A}}=17.5\)
   
   
   
   A área do retângulo é \(17.5 \text{ pol.}^{2}\). Lembre-se de rotular a área com \(\text{pol.}^{2}\), pois você está medindo a área em polegadas.
   )
3. Um triângulo retângulo tem lados adjacentes perpendiculares de 21 cm e 25 cm de comprimentos. Use a fórmula da área de um triângulo para calcular a área deste triângulo. Arredonde para o décimo mais próximo. (
   Solução

   x

   Solução: \(262.5 \text{ cm}^{2}\)
   )
4. A parte superior de uma fatia de torta de mirtilo tem o formato de um triângulo. A fatia tem 4 polegadas de largura no ponto mais largo e 7 polegadas de comprimento. Use a fórmula da área de um triângulo para determinar a área da superfície da parte superior desta fatia de torta de mirtilo. (
   Solução em Vídeo

   x

   Solução: \(14 \text{ in}^{2}\)
   Detalhes:
   

   
   
   | Transcrição)
5. Um jardim em forma de triângulo tem 35 pés de largura e 55 pés de comprimento. Use a fórmula da área de um triângulo para determinar a área deste jardim. Arredonde para o número inteiro positivo ou número natural mais próximo. (
   Solução

   x

   
   
   Solução: \(963 \text{ pés}^{2}\)
   Detalhes:
   Você está tentando encontrar a área de um jardim em forma de triângulo com uma \(\color{blue} \text{largura (ou base) de 35 pés}\) e um \(\color{red} \text{comprimento (ou altura) de 55 pés}\).
   
   Lembre-se, a área de um triângulo é metade da área de um retângulo com o mesmo comprimento e largura.
   
   
   Para encontrar a área de um retângulo, multiplique o comprimento pela largura. Para encontrar a área de um triângulo, multiplique o comprimento pela largura e divida por dois. Muitas vezes, você se refere à '\(\color{blue} \text{largura}\)' e ao ‘\(\color{red} \text{comprimento}\)’ usando os termos '\(\color{red} \text{base}\)’ e '\(\color{blue} \text{altura}\)' quando fala sobre triângulos.
   
   
   
   
   Neste caso, você multiplicaria 35 por 55 e depois dividiria por 2.
   
   
   
   \({\text{A}}=\dfrac{1}{2}(35\times55)\)
   
   
   
   \({\text{A}}=\dfrac{1}{2}(1925)\)
   
   
   
   \({\text{A}}=962.5\)
   
   
   
   A área do jardim é de aproximadamente \(963 \text{ pés}^{2}\) quando arredondada para o número inteiro positivo ou número natural mais próximo. E, lembre-se, ela é rotulada como \(\text{pés}^{2}\) porque você está medindo a área em termos de pés quadrados (pés).
   )
6. Uma janela triangular grande tem uma base de 3 m e uma altura de 4 m. Use a fórmula da área de um triângulo para calcular a área desta janela.(
   Solução em Vídeo

   x

   Solução: \(6 \:{\text{m}}^{2}\)
   Detalhes:
   

   
   
   | Transcrição)