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Divisão com Resultados Decimais
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Introdução

Nesta lição, você aprenderá a dividir números de vários dígitos que tenham um número inteiro positivo ou número natural ou um decimal como resposta. Infelizmente, as respostas para problemas de divisão nem sempre são números inteiros positivos ou números naturais.

Pessoas ao redor do mundo usam algoritmos ou métodos de divisão diferentes. Esta lição ensinará um método. Sinta-se à vontade para usar o método que funciona melhor para você.

Esses vídeos ilustram o material da lição abaixo. Assistir aos vídeos é opcional.

Divisão por um Único Número Inteiro Positivo ou Número Natural

Você aprenderá a fazer divisão com vários dígitos. Este processo é aplicável para números que podem ser divididos uniformemente e números com respostas decimais. Se você estiver familiarizado(a) com outro algoritmo ou padrão, sinta-se à vontade para usá-lo. O importante é entender o que você está fazendo e o motivo, para poder aplicar isso a situações do mundo real.

Passos da divisão:

  1. Coloque o número que está sendo dividido (o dividendo) abaixo da caixa e o outro número (o divisor) à esquerda da caixa.
  2. Começando pela esquerda, determine quantas vezes o divisor pode caber no primeiro dígito do dividendo.
  3. Escreva esse número acima do dígito e subtraia o produto desse número e o divisor do dividendo.
  4. Repita os passos 2 e 3, indo para a direita.

O mesmo processo de divisão é usado, mesmo com uma resposta decimal. Lembre-se: você sempre pode adicionar zeros após a casa decimal em um número (por exemplo: \(2 = 2.0 = 2.00\)). As instruções a seguir mostrarão como fazer uma divisão com decimais.

Observação: Esse processo pode ser lento no começo. Não tenha pressa de aprender a dividir corretamente. Estudar e memorizar os fatos da multiplicação de 1 dígito acelerará o processo e te ajudará a seguir os passos da divisão.

Exemplo 1

\(364\div 7\)

O objetivo é dividir 364 em 7 partes iguais. Comece criando uma caixa para ajudar a organizar o problema. Coloque o 364 embaixo da caixa e o 7, o divisor, fora da caixa: \(7\enclose{longdiv}{364}\)

Comece com o primeiro número à esquerda. Neste caso, 3. Quantos setes cabem em três? A resposta é zero, então coloque o zero aqui ou deixe em branco. Normalmente, você deixa em branco.

Como sete não cabe em três, olhe para o próximo número. Agora, você está olhando para o número 36. Quantas vezes 7 cabe em 36, ou o que multiplicado por 7 é próximo de 36? A partir dos seus fatos da multiplicação, você sabe que \(7\times5=35\). Como 35 é próximo de 36, mas ainda é menor que 36, você pode colocar um 5 na coluna das dezenas.

The incomplete equation shows 364 with the number 26 being divided by 7, which equals to 5.

Figura 1

\(7\times5=35\), então subtraia 35 de 36, o que deixa 1.

The incomplete equation shows 364 divided by 7, which equals to 5, 5 is multiplied to 7 which is equals to 35. The number 35 is placed under the numbers 3 and 6 which was divided to 7 earlier. 35 is then subtracted to 36, which results to 1.

Figura 2

Anote o número na próxima coluna à direita, que é quatro. Agora você está trabalhando com 14.

The equation shows 364 with the number 36 being divided by 7, which is equals to 5, 5 is then multiplied to 7, which is equals to 35, 35 is then subtracted to 36 which is equals to 1, the number 4 is now brought down next to 1, which now shows 14.

Figura 3

Quantas vezes 7 cabe em 14? Seus fatos da multiplicação lhe dizem que \(2\times7=14\), então a resposta é dois. Assim, \(14-14=0\), e como você tem 0, sabe que terminou o problema. A resposta é 52: \(364\div7=52\).

the equation shows 364 with the number 36 being divided by 7 which is equals to 5, 5 is now multiplied to 7 which is equals to 35. 35 is then subtracted to 36 which is equals to 1, the number 4 is now brought down next to number one, which now reads as number 14, the number 14 is now divided by 7, which is equals to 2, now 2 is multiplied to 7 which is equals to 14. Now 14 is subtracted to 14, which results to 0. The final answer to this entire equation shows the number 52.

Figura 4

Considere o motivo pelo qual isso funciona. Quando você multiplica 5 por 7, na verdade é 50 multiplicado por 7 porque o 5 está na coluna das dezenas. Quando você subtrai, na verdade você está subtraindo 350 de 364. Você não pode usar um número maior que cinco aqui porque qualquer coisa maior que cinco na casa das dezenas resultaria em um número muito grande.

Você quer saber quanto sobrou, então subtrai 350 de 364. No primeiro exemplo, você apenas trouxe o quatro para baixo. Você pode fazer isso porque na verdade há um zero abaixo do quatro. Os 14 restantes significam que há 14 que ainda precisa ser dividido por 7.

Exemplo 2

\(8\enclose{longdiv}{984}\)

\(984\div8\). Comece pela coluna mais à esquerda, que neste caso é a coluna das centenas. O 8 cabe em 9 uma vez. \(1\times8=8\), e \(9-8=1\).

The equation shows the number 984 with the number 9 is divided by 8 which results to 1, the number 1 is now multiplied to 1 which also equals to 1, now 8 is subtracted to 9 which is equals to 1.

Figura 5

Traga o restante para o próximo número à direita.

The equation shows the number 984 with the number 9 being divided by 8 which is is equals to 1, now 1 is multiplied to 8 which equals to 8, the number 8 is then subtracted from 9, which results to 1, now the number 8 from 984 is brought down next to number one and now reads as number 18.

Figura 6

Depois de derrubar o 8, você tem 18. Quantas vezes 8 cabe em 18? \(8\times2=16\), que é menor que 18, mas próximo disso. Coloque um 2 na casa das dezenas, subtraia 16 de 18 e traga o próximo número para baixo.

the equation shows 984 with the number 8 divided by 8 which equals to 1, and 1 multiplied to 8 which is equals to 8, 8 is subtracted from 9 which equals to 1. The number 8 from 984 is brought down next to number 1 and now reads as number 18, number 18 is now divided by 8 which equals to 2, 2 is now multiplied to 8 which equals to 16. The number 16 is subtracted from 18 which equals to 2.

Figura 7

Quando você traz o próximo número para baixo, você tem 24

The number 4 from 984 is brought down next to number 2 and now reads as 24.

Figura 8

\(8\times3=24\). Subtraia 24 de 24 e o restante será zero, o que significa que a resposta é um número inteiro positivo. \(984\div8=123\)
The number 24 is divided by 8 which equals to 3, 3 is multiplied to 8, which equals to 24, 24 is then subtracted from 24 which results to zero.

Figura 9

Algoritmo de Divisão

Como você encontra a resposta para um problema de divisão quando a resposta não é um número inteiro positivo ou número natural? Se a resposta não for um número inteiro positivo ou número natural, será um decimal.

Exemplo 3

\(17\div5\)

A partir dos seus fatos da multiplicação, você sabe que \(5\times3=15\) e \(5\times4=20\). Isso significa que a resposta de \(17\div5\) estará em algum lugar entre três e quatro, mas não é exatamente três ou quatro. A resposta terá uma casa decimal.

Comece criando uma pequena caixa: \(5\enclose{longdiv}{17}\)

Use o mesmo algoritmo de divisão usado na seção anterior. O cinco não cabe no um, então passe para o próximo número: O 5 cabe no 17. \(3\times5=15\), o que é ideal porque é próximo de 17, mas ainda menor que 17. Agora subtraia: \(17-15=2\).

the equation shows 17 being divided by 5 which equals to 3, 3 is multiplied to 5 which equals to 15, 15 is then subtracted from 17 which results to 2.

Figura 10

A resposta significa que \(17\div5\) fornece uma resposta de três com duas peças restantes.

Agora você deve descobrir como colocar as duas peças restantes na forma decimal. Coloque um decimal depois de 17 porque 17 é o mesmo que 17.0. Se você colocar um zero aqui, poderá trazer um zero para baixo e continuar fazendo o algoritmo como antes. Tenha em mente que se você adicionar uma casa decimal ao número que está dividindo, deverá colocar uma casa decimal também na resposta final.

A decimal point is added next to the number 17 and a zero followed it. A decimal point is added next to the answer as well. The zero is then brought down next to number 2 and now reads as number 20.

Figura 11

\(5\times4=20\), então coloque um quatro na resposta depois da casa decimal.

The number 20 is then divided by 5 which equals to 4, the number 4 is added next to the decimal point. The number 4 is multiplied to 5 which equals to 20. 20 is then subtracted from 20 which results to zero.

Figura 12

Você estimou no começo que a resposta seria algo entre três e quatro, e é.

Decimais Repetidos

Existem alguns problemas de divisão em que a resposta continuará se repetindo para sempre.

Exemplo 4

\(1\div3\) or \(3\enclose{longdiv}{1}\)

Se você resolver essa equação usando o algoritmo de divisão normal, saberá que três não cabe em um, então você coloca uma casa decimal na resposta e ao lado da unidade. Agora você finge que a resposta é 10. Três cabe em 10 três vezes.

The equation shows how to divide a number that has a decimal point.

Figura 13

\(3\times3=9\), e quando você subtrai, sobra um. Traga outro zero. Três cabe em 10 três vezes, e \(3\times3=9\). Quando você subtrai 9 de 10, resta 1. Se você repetir o processo novamente, obterá a mesma resposta, então descobrirá que existe um padrão.

the equation shows that there is a pattern going on.

Figura 14

Você poderia continuar fazendo isso para sempre e obteria um fluxo interminável de três. Neste caso, a resposta é 0.333... Os pequenos pontos depois dele significam que o número continua para sempre. Outra maneira de mostrar que a resposta se repete é colocando uma linha sobre os três: \(0.\overline3\)

Exemplo 5

\(6\enclose{longdiv}{5}\)

Às vezes, não fica óbvio na hora que a resposta se repetirá para sempre.

Seis não cabe em cinco, então você coloca um ponto decimal e um zero: \(6\enclose{longdiv}{5.0}\)

Seis podem caber em 50.\(6\times8=48\), então sobram dois de 50.

the equation shows that the repetition won't be obvious immediately.

Figura 15

Adicione outro zero ao ponto decimal e reduza-o.

Another zero is added to the decimal point and brought down next to number 2.

Figura 16

\(3\times6=18\), então você sabe que seis cabe em 20 três vezes. \(20-18=2\), então você trará outro zero para baixo.

The equation shows that 3 x 6 = 18, 18 is then subtracted from 20 which results to 2. Another zero is added to the decimal point and brought down next to 2.

Figura 17

Você não viu nenhuma repetição no primeiro dígito, mas a vê no segundo e terceiro dígitos. Se você continuasse, veria a repetição para sempre, então você pode escrever a resposta com uma barra sobre o três para mostrar que o três se repete daqui em diante: \(0.8\overline{3}\)

Exemplo 6
\(1\div7\)

Uma calculadora ajudará a demonstrar este exemplo. Você obtém um número enorme quando insere esta equação na calculadora: 0.1428571428571428571….

.

Figura 18

No começo, não parece que se repete. Entretanto, você vê que a série de números repete a sequência 142857.

Quando você se depara com problemas como esse, ajuda arredondar para o centésimo mais próximo. No exemplo acima, como o dois na posição dos milésimos indica um arredondamento para baixo, a resposta seria 0.14.

Lembre-se

  • Passos da divisão:

    1. Coloque o número que está sendo dividido (o dividendo) abaixo da caixa e o outro número (o divisor) à esquerda da caixa.
    2. Começando pela esquerda, determine quantas vezes o divisor pode caber no primeiro dígito do dividendo.
    3. Escreva esse número acima do dígito e subtraia o produto desse número e o divisor do dividendo.
    4.   Repita os passos 2 e 3, indo para a direita.
  • Se você chegar ao final do dividendo e o problema não estiver completo, adicione uma casa decimal ao final com zeros para que você possa descer números adicionais conforme necessário.
  • Ao adicionar um decimal ao dividendo, um decimal também deve ser adicionado à resposta.
  • Ao arredondar para o centésimo mais próximo, se o número na casa dos milésimos for cinco ou mais, arredonde para cima. Se o número for menor que cinco, arredonde para baixo.

Problemas Práticos

Analise as seguintes expressões. Arredonde para o centésimo mais próximo.
  1. \(77 ÷ 2 = ?\) (
    Solução
    x
    Solução: 38.5
    Detalhes:
    Comece dividindo em partes. Primeiro, divida 7 por 2.
    This image shows a division symbol of a vertical line and a horizontal line coming together as though they are making the top left corner of a rectangle. Inside this imaginary rectangle is the number 77. To the left of the vertical line and on the same horizontal plane as the 77 is the number 2. This means 77 is being divided by the 2.

    Coloque sua resposta acima da linha e diretamente acima do 7. A resposta será 3, porque 2 cabe em 7 cerca de 3 vezes.
    This image is the same as the previous one except now there is a 3 above the division symbol horizontal line and in the same column as the leftmost 7 in the number 77. In this case this means the 3 is in the tens place just as the leftmost seven is in the tens place in 77.

    Coloque o resultado de \(2 \times 3\) abaixo do 7 e subtraia
    This image is the same as the previous one except now there is a 6 in the tens column below the leftmost 7 in 77. There is also a subtraction symbol to the left of the 6. A horizontal line is below the 6 indicating we will put our new number below that line.

    A diferença entre 7 e 6 é 1. Coloque a resposta diretamente abaixo do 6.
    This image is the same as the previous one except now there is a 1 below the subtraction horizontal line directly below the 6. This is the solution of 7-subtract-six from the previous image.

    O próximo passo é descer o próximo número. Desça o segundo 7 e coloque-o ao lado do 1.
    This image is the same as the previous image except now there is a downward arrow from the rightmost 7 in 77 and a 7 is written to the right of the 1. This makes the new number below the subtraction line 17.

    Divida 17 por 2. A resposta é cerca de 8.
    This image is the same as the previous image except now, above the division symbol, to the right of the three is a number 8. This indicates that 2 goes into 17 eight times.

    Coloque o resultado de \(8 \times 2\), 16, abaixo do 17 e subtraia.
    This image is the same as the previous image except now there is a 16 directly below the 17, a new subtraction symbol to the left of the 16, and a new horizontal line below it as well.

    A diferença entre 17 e 16 é 1. Coloque o 1 abaixo do 6.
    This image is the same as the previous one except now there is a 1 directly below the 7 and 6 in 17 and 16 respectively. This 1 is also below the newest horizontal line.

    Neste ponto, há um número restante. Adicione um decimal e um zero depois do 77..
    This image is the same as the previous one except now there is a decimal point and a zero written to the right of the 77. This makes it seventy-seven-point-zero. An arrow is used to draw attention to this new part of the number.

    Continue trazendo o novo zero para baixo.
    This image is the same as the previous one except now there is a downward arrow from the 0 in seventy-seven-point-zero. It points to a zero to the right of the 1 below the most recent horizontal line. This makes the newest number we will be dividing a 10.

    Divida 10 por 2 e coloque a resposta, 5, ao lado do 8 acima do novo 0 na solução.
    This image is the same as the previous one except now there is a 5 above the division symbol and to the right of the 8. This makes the number above the division symbol three-eight-five from left to right.

    Coloque os resultados de \(2 \times 5\) abaixo do 10 e subtraia. A diferença entre 10 e 10 é zero. Quando você chega a 0, você para de dividir.
    This image is the same as the previous one except that below the 10 at the bottom of our problem there is another 10. They are written directly one over the other. There is also a subtraction symbol to the left and a new horizontal line below the new 10. Below this horizontal line is zero-zero. This is because the solution to 10 subtract 10 is zero.

    Coloque o ponto decimal entre 38 e 5. Observe que o ponto decimal na resposta é colocado diretamente acima do ponto decimal em 77.0.
    This image is the same as the previous one except there is a decimal point in the number above the division symbol. The decimal point is between the 8 and the 5. There is an arrow pointing it out. This makes the solution to the division problem thirty-eight-point-five.

    A resposta é 38.5.
    )
  2. \(339 ÷ 4 = ?\) (
    Solução
    x
    Solução: 84.75
    Detalhes:
    Comece dividindo 33 por 4..
    This image shows a division symbol of a vertical line and a horizontal line coming together as though they are making the top left corner of a rectangle. Inside this imaginary rectangle is the number 339. To the left of the vertical line and on the same horizontal plane as the 339 is the number 4. This means 339 is being divided by the 4.

    O 4 cabe no 33 cerca de 8 vezes.
    This image is the same as the previous one except now there is an 8 above the division symbol horizontal line and in the same column as the rightmost 3 in the number 339. In this case this means the 8 is in the tens place just as the rightmost three is in the tens place in 339.

    Coloque a resposta de \(8 \times 4\), 32, abaixo de 33 e subtraia.
    This image is the same as the previous one except now there is a 33 below the 33 in 339. There is also a subtraction symbol to the left of the 32. A horizontal line is below the 32 indicating we will put our new number below that line.

    Há um resto de 1. Coloque-o abaixo da linha e traga o 9 para baixo.
    This image is the same as the previous one except now there is a 1 below the subtraction horizontal line directly below the 32. This is the solution of 33-subtract-32 from the previous image.

    Divida 19 por 4.
    This image is the same as the previous image except now there is a downward arrow from the 9 in 339 and a 9 is written to the right of the 1. This makes the new number below the subtraction line 19.

    O quatro cabe no 19 cerca de 4 vezes porque \(4 \times 4 = 16\). Coloque o novo 4 ao lado do 8 na resposta.
    This image is the same as the previous image except now, above the division symbol, to the right of the 8 is a number 4. This indicates that 4 goes into 19 four times.

    Coloque o produto de \(4 \times 4\), 16, abaixo do 19 e subtraia.
    This image is the same as the previous image except now there is a 16 directly below the 19, a new subtraction symbol to the left of the 16, and a new horizontal line below it as well.

    A diferença entre 19 e 16 é 3. Coloque o 3 abaixo da coluna mais à direita.
    This image is the same as the previous one except now there is a 3 directly below the 9 and 6 in 19 and 16 respectively. This 3 is also below the newest horizontal line.

    Em seguida, adicione um ponto decimal após o 9 no dividendo (339) e inclua dois zeros.
    This image is the same as the previous one except now there is a decimal point and two zeros written to the right of the 339. This makes it three-hundred-thirty-nine-point-zero. An arrow is used to draw attention to this new part of the number.

    Continue o mesmo padrão. Traga o próximo número para baixo. Neste caso, o zero. Divida 30 por 4.
    This image is the same as the previous one except now there is a downward arrow from the 0 in 339.00. It points to a zero to the right of the 3 below the most recent horizontal line. This makes the newest number we will be dividing a 30.

    O 4 cabe no 30 cerca de 7 vezes.
    This image is the same as the previous one except now there is a 7 above the division symbol and to the right of the 84. This makes the number above the division symbol eight-four-seven from left to right.

    Coloque o produto de \(4 \times 7\), 28, abaixo do 30 e subtraia.
    This image is the same as the previous one except that below the 30 at the bottom of our problem there is 28. They are written directly one over the other. There is also a subtraction symbol to the left and a new horizontal line below the new 30.

    A diferença entre 30 e 28 é 2. Coloque o 2 abaixo da linha. Observe que você teve que fazer um reagrupamento para fazer essa subtração.
    This image is the same as the previous one, except that the 3 in 30 is crossed out and under it is written 2. The 0 is 30 is also crossed out and under it is written a 10. There is a new horizontal line on the bottom, below it is written 2. This indicates that 2 is the result when 28 is subtracted from 30.

    Continue trazendo o último 0 para baixo, ao lado do 2. Divida 20 por 4.
    This image is the same as the previous one, except that the second zero in 339.00 is brought down below the bottom horizontal line, right next to the number 2. The new number under the bottom horizontal line is 20.

    O número 4 cabe em 20 exatamente 5 vezes porque \(4 \times 5 = 20\). Subtraia para obter um zero.
    This image is the same as the previous one, except that there's a 5 written on the top right next to 7. Now the top line consists of the numbers 8, 4, 7, and 5.

    This image is the same as the previous one, except that there's another 20 written below the 20, with a subtraction sign to its right. There's a new horizontal line on the bottom, below which two zeros are written, indicating that 20 subtracted from 20 equals zero.

    O último passo é colocar o ponto decimal na resposta. Coloque o ponto decimal entre 84 e 75, alinhado com o ponto decimal no dividendo: 339.00
    This image is the same as the previous one, except that a decimal point is placed on the top line between numbers 4 and 7. This makes the final answer eighty-four-point-seventy-five.

    A resposta final: 84.75.
    )
  3. \(21 ÷ 8 = ?\) (
    Solução em Vídeo
    x
    Solução: 2.63, arredondado para o centésimo mais próximo.
    Detalhes:

     | Transcrição)
  4. \(37 ÷ 3 = ?\) (
    Solução
    x
    Solução: 12.33, arredondado para o centésimo mais próximo.
    )
  5. \(559 ÷ 6 = ?\) (
    Solução em Vídeo
    x
    Solução: 93.17, arredondado para o centésimo mais próximo.
    Detalhes:

     | Transcrição)
  6. \(258 ÷ 7 = ?\) (
    Solução
    x
    Solução: 36.86, arredondado para o centésimo mais próximo.
    )
Multiplicação e Divisão com Números Negativos
Regras dos Expoentes