Introdução

Nesta lição, você aprenderá a dividir frações. Você também aprenderá a encontrar o inverso multiplicativo, também chamado de recíproco de uma fração.

Esses vídeos ilustram o material da lição abaixo. Assistir aos vídeos é opcional.

• Inverso Multiplicativo ou Recíproco de uma Fração | Transcrição
• Divisão de Frações | Transcrição
• Exemplos de Divisão de Frações | Transcrição

Encontrando o Recíproco

Primeiro, veja aqui uma rápida revisão de algumas regras aritméticas que serão úteis para a divisão de frações.

Regra 1: Qualquer coisa dividida por si mesma será igual a 1. Este conceito é usado na redução de frações.

\begin{align*} 2\div2=1.\ &\text{ Isto é a mesma coisa que: } \frac{2}{2} = 1 \end{align*}

Regra 2: Qualquer número multiplicado por 1 é ele mesmo.

\begin{align*} 3\times1=3 \end{align*}

\begin{align*} 5\times\frac{2}{2},\ &\text{Use a regra acima para reescrever isto como \(5\times1=5\)} \end{align*}

Regra 3: Qualquer número dividido por um será igual a ele mesmo. Portanto, qualquer número inteiro positivo ou número natural pode ser escrito como uma fração usando 1 como denominador.

\begin{align*} 7 =\frac{7}{1} \end{align*}

A divisão de frações é a mesma coisa que multiplicar pelo recíproco. O recíproco de uma fração é seu inverso, ou seja, a inversão da fração de modo que o numerador se torne o denominador e o denominador se torne o numerador.

Exemplo 1

Encontre o recíproco de \(\frac{2}{3}\).

Para encontrar o recíproco, inverta o numerador e o denominador.

\begin{align*} \frac{2}{3}=\frac{3}{2} \end{align*}

O recíproco é \(\frac{3}{2}\). Você pode verificar sua resposta multiplicando a fração original por seu recíproco. Uma fração vezes seu recíproco é sempre igual a um.

\begin{align*} \frac{2}{3}\times\frac{3}{2}=\frac{6}{6}=1 \end{align*}

Divisão de Frações

Na divisão de frações, siga estes passos:

1. Encontre o recíproco da segunda fração.
2. Mude para multiplicação
3. Multiplique. 
4. Simplifique, se possível.

Exemplo 2

\(\frac{7}{8}\div\frac{3}{5}\)

\begin{align*}&\frac{7}{8}\div\frac{5}{3} &\color{navy}\small\text{Encontre o recíproco da segunda fração}\\\\&\frac{7}{8}\times\frac{5}{3}&\color{navy}\small\text{Mude para multiplicação}\\\\&\frac{35}{24}&\color{navy}\small\text{Multiplique}\\\\\end{align*}

Como a fração \(\frac{35}{24}\) não pode ser simplificada, a resposta é \(\frac{35}{24}\).

Exemplo 3

\(6\div\frac{3}{4}\)

\begin{align*}&\frac{6}{1}\div\frac{3}{4} &\color{navy}\small\text{Reescreva o número inteiro positivo ou número natural como uma fração}\\\\&\frac{6}{1}\div\frac{4}{3} &\color{navy}\small\text{Encontre o recíproco da segunda fração}\\\\&\frac{6}{1}\times\frac{4}{3}&\color{navy}\small\text{Mude para multiplicação}\\\\&\frac{24}{3}&\color{navy}\small\text{Multiplique}\\\\&8&\color{navy}\small\text{Simplifique}\\\\\end{align*}

Exemplo 4

\(\frac{9}{13}\div\frac{9}{13}\)

\begin{align*}&\frac{9}{13}\div\frac{13}{9} &\color{navy}\small\text{Encontre o recíproco da segunda fração}\\\\&\frac{9}{13}\times\frac{13}{9}&\color{navy}\small\text{Mude para multiplicação}\\\\&\frac{117}{117}&\color{navy}\small\text{Multiplique}\\\\&1&\color{navy}\small\text{Simplifique}\\\\\end{align*}

Lembre-se

• Os passos da divisão de frações são:

  1. Encontre o recíproco da segunda fração.
  2. Mude para multiplicação.
  3. Multiplique. 
  4. Simplifique, se possível.
• Uma fração multiplicada pelo seu recíproco é igual a um.
• Qualquer coisa dividida por si mesma sempre será igual a um.
• Qualquer número inteiro positivo ou número natural pode ser escrito como uma fração com o número um como denominador.

1. \(\displaystyle \frac{1}{4}\div\frac{1}{3}= \) (
   Solução

   x

   Solução: \(\displaystyle \frac{1}{4}\div \frac{1}{3}=\frac{1}{4}\cdot \frac{3}{1}=\frac{3}{4}\)
   Detalhes:
   
   Passo 1: Encontre o inverso multiplicativo (ou recíproco) da fração que segue o símbolo de divisão:
   \(\displaystyle \frac{1}{4}\div\color{red}\frac{1}{3}\)
   
   Você está dividindo \(\displaystyle \frac{1}{4}\) por \(\dfrac{1}{3}\), então precisa encontrar o recíproco de \(\dfrac{1}{3}\). Para encontrar o recíproco, basta “inverter” \(\dfrac{1}{3}\). O recíproco de \(\dfrac{1}{3}\) é \(\dfrac{3}{1}\).
   
   Passo 2: Multiplique a primeira fração pelo recíproco da segunda fração:
   \(\displaystyle \frac{1}{4}\color{red}\cdot\frac{3}{1}\)
   
   Passo 3: Faça a multiplicação cruzada:
   \(\displaystyle \frac{1}{4}\cdot\frac{3}{1}=\frac{1\cdot3}{4\cdot1}=\frac{3}{4}\)
   
   A resposta é \(\dfrac{3}{4}\).
   )
2. \(\displaystyle \frac{1}{4}\div\frac{5}{8}= \) (
   Solução

   x

   Solução: \(\displaystyle \frac{1}{4}\div \frac{5}{8}=\frac{1}{4}\cdot \frac{8}{5}=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}\)
   Detalhes:
   
   Passo 1: Encontre o inverso multiplicativo (ou recíproco) da fração que segue o símbolo de divisão:
   \(\displaystyle \frac{1}{4}\div\color{red}\frac{5}{8}\)
   
   Você está dividindo \(\dfrac{1}{4}\) por \(\dfrac{5}{8}\), então precisa encontrar o recíproco de \(\dfrac{5}{8}\). Para encontrar o recíproco, basta “inverter” \(\dfrac{5}{8}\). O recíproco de \(\dfrac{5}{8}\) é \(\dfrac{8}{5}\).
   
   Passo 2: Multiplique a primeira fração pelo recíproco da segunda fração:
   \(\displaystyle \frac{1}{4}\color{red}\cdot\frac{8}{5}\)
   
   Passo 3: Faça a multiplicação cruzada:
   \(\displaystyle \frac{1}{4}\cdot\frac{8}{5}=\frac{1\cdot8}{4\cdot5}=\frac{8}{20}\)
   
   Passo 4: Simplifique se possível:
   A fração \(\dfrac{8}{20}\) pode ser simplificada. Para simplificar, divida o numerador e o denominador por quaisquer fatores comuns. Tanto 8 quanto 20 são divisíveis por 4. Divida ambos por 4:
   \(\displaystyle \frac{8\div4}{20\div4}=\frac{2}{5}\)
   
   A resposta é \(\dfrac{2}{5}\).
   )
3. \(\displaystyle \frac{3}{7}\div\frac{2}{5}= \) (
   Solução

   x

   Solução:
   \(\displaystyle \frac{3}{7}\div \frac{2}{5}=\frac{3}{7}\cdot \frac{5}{2}=\frac{15}{14}\)
   )
4. \(\displaystyle \frac{3}{4}\div\frac{9}{2}= \) (
   Solução em Vídeo

   x

   Solução: \(\displaystyle \frac{3}{4}\div \frac{9}{2}=\frac{1}{6}\)
   Detalhes:
   

   
   
   | Transcrição)
5. \(\displaystyle \frac{3}{4}\div6= \) (
   Solução

   x

   Solução:
   \(\displaystyle \frac{3}{4}\div 6=\frac{3}{4}\div\frac{6}{1}=\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{8}\)
   )
6. \(\displaystyle 6\div\frac{3}{2}= \) (
   Solução em Vídeo

   x

   Solução: \(\displaystyle 6\div \frac{3}{2}=4\)
   Detalhes:
   

   
   
   | Transcrição)