Introdução
Nesta lição, você aprenderá sobre dois tipos diferentes de equações: equações com infinitas soluções e equações sem solução.
Este vídeo ilustra o material da lição abaixo. Assistir ao vídeo é opcional.
Infinitas Soluções
Existem três tipos de respostas que você pode obter ao resolver uma variável:
\(x=a\): em que a representa todos os números reais.
- Exemplo: \( x = 5.3\), \(x = -2\), \(x = 1.5\)
\(x =\) Infinitas Soluções: em que x representa todos os números reais ou infinitas soluções.
- Exemplo: \(3 = 3\), \(x =x \), \(-7 = -7\)
\(x =\) Sem Solução: não há solução quando a afirmação é falsa.
- Exemplo: \(1 \neq 5\), \(0 \neq 4\), \(3 \neq -2\)
Nem todas as equações terminarão com \(x =\) um número específico. Algumas equações podem ter infinitas soluções e outras podem não ter solução alguma.
Exemplo 1: Infinitas Soluções
\begin{align*}2x + 3 &= 2x + 3 &\color{navy}\small\text{Equação dada}\\\\2x +3 \color{green}\mathbf{-3} &= 2x +3 \color{green}\mathbf{-3} &\color{navy}\small\text{Subtraia \(3\) de cada lado}\\\\ 2x &= 2x &\color{navy}\small\text{Simplifique cada lado}\\\\ \frac{2x}{\color{green}\mathbf{2}} &=\frac{2x}{\color{green}\mathbf{2}} &\color{navy}\small\text{Divida cada lado por \(2\)}\\\\x &= x &\color{navy}\small\text{Simplifique cada lado}\\\\\end{align*}
Esta resposta será sempre verdadeira, não importa qual valor \(x\) possa ser. O \(x\) pode ser qualquer número real, e isso ainda seria verdade; portanto, esta equação tem infinitas soluções.
Exemplo 2: Infinitas Soluções
Simplifique o Exemplo 1 de outra maneira:
\begin{align*}2x + 3 &= 2x + 3 &\color{navy}\small\text{Equação dada}\\\\ 2x +3 \color{green}\mathbf{-2x} &= 2x +3 \color{green}\mathbf{-2x} &\color{navy}\small\text{Subtraia \(2x\) de cada lado}\\\\ 3 &= 3 &\color{navy}\small\text{Simplifique cada lado}\\\end{align*}
Quando você resolve uma equação e obtém a mesma resposta em cada lado do sinal de igual, como \(3\) é igual a \(3\), ou \(x\) é igual a \(x\), todos os números reais são a solução, ou a equação tem infinitas soluções.
Exemplo 3: Sem Solução
\begin{align*}2x + 1 &= 2x -5 &\color{navy}\small\text{Equação dada}\\\\2x +1 \color{green}\mathbf{-2x} &= 2x -5 \color{green}\mathbf{-2x} &\color{navy}\small\text{Subtraia 2x de ambos os lados}\\\\1 &= -5 &\color{navy}\small\text{Simplifique cada lado} \end{align*}
Os dois \(x\) de cada lado serão cancelados, deixando \(1=-5\). Esta é uma afirmação falsa. O 1 não é igual ao -5. Portanto, não importa qual valor você coloque para \(x\) nesta equação, ela nunca será verdadeira. Esta equação não tem solução.
Exemplo 4: Sem Solução
Simplifique o Exemplo 3 de outra maneira:
\begin{align*}2x + 1 &= 2x - 5 &\color{navy}\small\text{Equação dada}\\\\2x + 1 \color{green}\mathbf{-1} &= 2x - 5 \color{green}\mathbf{-1} &\color{navy}\small\text{Subtraia 1 de cada lado}\\\\2x &= 2x -6 &\color{navy}\small\text{Simplifique cada lado}\\\\ 2x\color{green}\mathbf{-2x} &=2x - 6\color{green}\mathbf{-2x} &\color{navy}\small\text{Subtraia 2x de cada lado}\\\\ 0&= -6 &\color{navy}\small\text{Simplifique cada lado}\\\\\end{align*}
Novamente, os dois \(x\) se cancelam, deixando \(0=6\), o que não é uma afirmação verdadeira. Quando você resolve uma equação e chega a uma afirmação falsa como esta, não há solução.
Lembre-se
- Sempre que você resolve uma equação e obtém o mesmo resultado em cada lado do sinal de igual, ou uma afirmação verdadeira, o problema tem infinitas soluções, e todos os números reais são a solução.
- Sempre que você resolve uma equação e encontra uma afirmação falsa no fim, significa que não há soluções.
Problemas Práticos
- \(-9{\text{M}} {-} 4 = -9{\text{M}} - 4\) (
Detalhes:
Neste exemplo, a primeira coisa a fazer é combinar termos semelhantes. Isto significa combinar os termos com a variável \(M\) entre si e combinar os termos sem variável.
Observação: Há duas versões ou maneiras de resolver esta equação. Qualquer uma delas é aceitável. Você não precisa usar as duas.
Primeira versão: Combine os termos com a variável M primeiro
Agora, há um \(−9M\) no lado direito da equação. Remova-o do lado direito e combine-o com o lado esquerdo somando \(+9M\) a ambos os lados da equação.
No lado direito:
\(-9M + 9M = 0\), restando apenas \(-4\)
No lado esquerdo:
\(-9M + 9M = 0\), restando apenas \(-4\)
Como \(−9M+9M=0\), você fica com \(−4=−4\). Esta afirmação é sempre verdadeira; portanto, existem infinitas soluções para a equação \(−9M−4=−9M−4\). Isto significa que qualquer valor de M ainda tornará esta equação verdadeira.
A solução final: Infinitas soluções.
Segunda versão: Combine os termos sem uma variável primeiro
Você deve combinar o \(−4\) no lado esquerdo da equação com o \(−4\) no lado direito da equação. Para fazer isso, some \(+4\) a ambos os lados da equação.
No lado esquerdo:
\(−4+4=0\)
No lado direito:
\(−4+4=0\)
Assim, você fica com \(−9M=−9M\). Você pode parar aqui porque vê que ambos os lados são iguais, o que significa que, para qualquer valor de M, a afirmação será verdadeira, ou você pode continuar resolvendo o \(M\).
Para continuar resolvendo o \(M\), você precisa multiplicar ambos os lados pelo inverso multiplicativo de \(−9\). Multiplique ambos os lados por \(-\dfrac{1}{9}\).
\(\left (-\dfrac{1}{9} \right )\left ( -9 \right )=1\)
Isso lhe dá \(1M=1M\).
\(M=M\) é sempre verdade para qualquer valor de \(M\).
A solução final: Infinitas soluções. - \(9 + 8{\text{T}} = 13{\text{T}} + 2\) (
- \(-4 + 2{\text{b}} = 2{\text{b}} - 9\) (
Detalhes:
Comece combinando os termos semelhantes.
Combine os termos com a variável b, somando \(−2b\) a ambos os lados da equação.
Como \(2b+(−2b)=0\), você fica com \(−4\) no lado esquerdo e \(−9\) no lado direito.
Mas \(−4\) não é igual a \(−9\).
Isto significa que não importa quais valores você coloque nessa equação, ela não é verdadeira.
A solução final: Sem solução - \(-7 + 7{\text{b}} + 18 = 3{\text{b}} + 3 - 4{\text{b}}\) (
- \(2{\text{x}} + 5 + {\text{x}} = -1 + 3{\text{x}} + 6\) (
- \(2(3{\text{X}} + 4) = 6{\text{X}} + 7\) (
- \(-4(4{\text{M}} {-} 3) = -16{\text{M}} + 12\) (