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Fatoração Prima
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Introdução

Nesta lição, você aprenderá a estrutura básica da fatoração prima. Um número primo só pode ser dividido por um e por ele mesmo.

Esses vídeos ilustram o material da lição abaixo. Assistir aos vídeos é opcional.

Identificar Números Primos

Aprender a encontrar a fatoração prima de um número é importante quando você começa a aprender sobre frações. Isso é importante principalmente para reduzir frações. Veja aqui algumas palavras de vocabulário que te ajudarão nesta lição:

  • Fator: Os números em uma operação de multiplicação. (Por exemplo: Em \(3\times4=12\), 3 e 4 são fatores de 12.)
  • Produto: A solução da multiplicação. (Por exemplo: Em \(3\times4=12\), 12 é o produto.)
  • Número Primo: Qualquer número em que os únicos fatores são 1 e o próprio número (por exemplo: O 11 é um número primo. Não existe outro número além do 1 e 11 pelo qual você possa dividir o 11 que lhe dará um número inteiro positivo ou número natural).

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Figura 1

Usando a tabela de multiplicação acima, considere os seguintes números e aprenda como determinar se um número é primo:

  1. O um não é considerado primo; é simplesmente o número um. Há razões para isso, que você não precisa aprender agora. Saiba apenas que o número um não é considerado um número primo.
  2. Dois é \(1\times2\) e também é \(2\times1\), mas essas são as únicas ocasiões em que você vê o número dois na tabela de multiplicação. Então, dois é apenas o produto de um e ele mesmo, o que o torna um número primo.

Observação: O número dois é o único número par que é primo; todos os outros são números ímpares. Entretanto, nem todo número ímpar é primo.

  1. O quatro é múltiplo de \(1\times4\), \(4\times1\) e \(2\times2\). O quatro não pode ser um número primo porque tem outros fatores: 1, 2, 4. Lembre-se, fatores são números que, quando multiplicados, criam um produto.
  2. Sete é o produto de \(1\times7\) e \(7\times1\). Mas, novamente, esses são os únicos dois casos em que o três aparece no gráfico, o que indica que três é um número primo.

Quais são outros números primos no gráfico? A Figura 2 destaca os números primos em amarelo até o número 139.

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Figura 2

Fatoração Prima

Os menores números nos quais você pode decompor um número são os números primos porque um número primo não pode ser decomposto em mais nada.

Exemplo 1

O 14 não é primo porque é o mesmo que \(2\times7\).

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Figura 3

A fatoração é \(2\times7\). Para fatorar um número, divida-o listando os fatores abaixo e criando um formato semelhante a uma árvore. Depois, avalie os fatores. Como os fatores 2 e 7 são primos, esse é o máximo que você pode fatorar 14. Portanto, 2 e 7 são fatores primos de 14.

Exemplo 2

Há muitas maneiras de obter 40, como \(8\times5=40\) e \(4\times10=40\). Isso significa que 40 pode ser fatorado de várias maneiras. Primeiro, tente usar os fatores 4 e 10.

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Figura 4

O 4 não é um número primo, então você pode dividi-lo ainda mais. \(2\times2=4\), e 2 é primo, então é até aqui que você consegue chegar com o 4. O outro fator, 10, também não é primo. O 10 pode ser dividido em \(2\times5=10\), e 2 e 5 são primos.

A fatoração prima de 40 é \(2\times2\times2\times5\), ou você pode até mesmo escrever isso em uma notação exponencial como \(2^{3}\times5\). Ambos os formatos transmitem a resposta correta.

Agora, tente usar os fatores de 8 e 5 porque o 40 também pode ser dividido em \(8\times5\). A figura abaixo mostra essa fatoração.

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Figura 5

Ao fatorar dessa forma, ainda temos \(2\times2\times2\times5\) como fatores primos de 40.

Exemplo 3

Qual é a fatoração prima de 19? Observe o gráfico e veja quais múltiplos compõem 19 antes de olhar para a Figura 6 abaixo.

factorization of 19 showing 19 and 1

Figura 6

Como o 19 não tem múltiplos além de 1 e 19, é aí que a fatoração termina. O 19 é um número primo.

Exemplo 4

O 210 tem um fator de 2 porque é um número par. \(2\times105\). O 105 tem um fator primo de 5 porque termina com 5: \(5\times21\). O 21 tem dois fatores primos: 3 e 7. Portanto, a fatoração prima de 210 é \(2\times5\times3\times7\).

The image shows 210 has prime factors of 2 and 105. 105 has two prime factors of 5 and 21, while number 21 has two prime factors of 3 and 7.

Figura 7

Depois de saber o que são números primos, você aprende que cada número é composto de números primos menores. A ação de decompor um número em números primos que o compõem é chamada de fatoração prima. Todo número tem uma fatoração prima. No caso dos números primos, seus únicos fatores são eles mesmos e 1.

Lembre-se

  • Números primos são números que só podem ser divididos por um e por eles mesmos.
  • Os números primos são compostos de números ímpares, exceto o número dois. Mas lembre-se de que nem todo número ímpar é primo.
  • Fatores são números que criam um produto.
  • Fatorar o número significa chegar até os números primos. Você pode fazer isso com qualquer número que receber, até mesmo um número primo, embora não consiga ir muito longe com ele.

Problemas Práticos

Encontre a fatoração prima dos seguintes números:
  1. 21 (
    Solução
    x
    Solução: \(21 = 3 \times 7\)
    Detalhes:
    The number 21 is at the top of the image. Under 21 are two arrows pointing down and outward, one pointing to the right and one to the left. The arrow pointing to the left points down to the number 3. The arrow pointing down and to the right points to the number 7. There is a multiplication sign between the numbers 3 and 7 indicating that 3 times 7 is 21.
    \(3 \times 7 = 21\); e 3 e 7 são fatores primos. A fatoração prima do número 21 é 3 e 7.
    )
  2. 13 (
    Solução
    x
    Solução: \(13 = 1 \times 13\)
    Detalhes:
    The number 13 is at the top of the image. Under 13 are two arrows pointing down and outward, one pointing to the right and one to the left. The arrow pointing to the left points down to the number 1. The arrow pointing down and to the right points to the number 13. There is a multiplication sign between the numbers 1 and 13 indicating that 1 times 13 is 13.
    A definição de um número primo é qualquer número cujos únicos fatores são 1 e ele mesmo.
    Os únicos fatores de 13 são 1 e ele mesmo, 13. A fatoração prima de 13 é apenas 13.
    )
  3. 30 (
    Solução em Vídeo
    x
    Solução: \(30 = 2 \times 3 \times 5\)
    Detalhes:

     | Transcrição)
  4. 12 (
    Solução
    x
    Solução: \(12 = 2 \times 2 \times 3\)
    Detalhes:
    Primeiro, encontre os fatores de 12. Existem algumas maneiras de fatorar 12. Ele pode ser fatorado como \(4 \times 3\) ou \(6 \times 2\)
    This shows the first step in the prime factorization of 12. It starts with 12 at the top. Under the 12 are two arrows pointing down and outward in opposite directions. The arrow pointing down and out to the left points to a number 4. The arrow pointing down and out to the right points to a number 3. There is an x between the 4 and 3 indicating that 4 times 3 is 12.
    This displays a second version of the factorization of the number 12. It also starts with 12 at the top. Below this 12 is another set of downward pointing arrows. The arrow pointing down and to the left points to the number 6 and the arrow pointing down and to the right points to the number 2. There is an x between the 6 and the 2 indicating that 6 times 2 is 12.
    Os números 3 e 2 são primos, mas 4 e 6 não.
    Encontre os fatores de 4 ou 6. Observe como a fatoração prima de 12 é \(2 \times 2 \times 3\), independentemente de os fatores iniciais serem \(4 \times 3\) ou \(6 \times 2\). A fatoração prima é a mesma.

    This image is a continuation of the first version for the factorization of 12. Again it starts with 12 at the top with arrows pointing down to 4 on the left and 3 on the right. Below the 4 is another set of downward arrows. These arrows point to a 2 on the left and a two on the right. There is an x between the two twos meaning 2 times 2 is 4. The 2, 2, and 3 are all in red indicating they are all prime numbers.
    This is a continuation of the second version of the factorization of 12. Again, below the 12 is a set of downward pointing arrows. The arrow on the left points to a 6 and the arrow on the right points to a 2. Below the 6 is another set of downward pointing arrows. The arrow pointing down and to the left points to a 3 and the arrow pointing down and to the right is pointing to a 2. There is an x between the 3 and 2 indicating that 3 times 2 is 6. The numbers 3, 2, and 2 are all red because they are prime.
    )
  5. 54 (
    Solução
    x
    Solução: \(54 = 2 \times 3 \times 3 \times 3\)
    Detalhes: O 54 é um número par, então você sabe que ele é divisível por 2.
    \(2 \times 27 = 54\)
    This shows the first step in the prime factorization of 54. It starts with 54 at the top. Under the 54 are two arrows pointing down and outward in opposite directions. The arrow pointing down and out to the left points to a number 2. The arrow pointing down and out to the right points to a number 27. There is an x between the 2 and 27 indicating that 2 times 27 is 54.
    O número 2 é primo, mas 27 não é, então você deve encontrar os fatores de 27.
    O 27 é divisível por 3:

    \(3 \times 9 = 27\)

    This image is a continuation of the first version for the factorization of 54. Again it starts with 54 at the top with arrows pointing down to a red 2 on the left and black 27 on the right. Below the 27 is another set of downward arrows. These arrows point to a red 3 on the left and a red 9 on the right. There is an x between the 3 and 9 meaning 3 times 9 is 27.
    O número 3 é um número primo, mas 9 não é primo, então você deve encontrar os fatores de 9.
    O 9 também é divisível por 3:

    \(3 \times 3 = 9\)

    This image is the third of three in the factorization of 54. Again it starts with 54 at the top with arrows pointing down to a red 2 on the left and black 27 on the right. Below the 27 is another set of downward arrows. These arrows point to a red 3 on the left and a black 9 on the right. There is an x between the 3 and 9 meaning 3 times 9 is 27. Under the 9 is a red 3 on the left and a red 3 on the right, with an x in between meaning 3 times 3 is 9. The red numbers indicate prime numbers.
    O número 3 é um número primo, então, na verdade, há mais dois 3 nesta fatoração prima.
    Agora, olhe para trás e encontre todos os números primos na fatoração de 54.

    This image is the same as the previous image, third of three in the factorization of 54. Again it starts with 54 at the top with arrows pointing down to a red 2 on the left and black 27 on the right. Below the 27 is another set of downward arrows. These arrows point to a red 3 on the left and a black 9 on the right. There is an x between the 3 and 9 meaning 3 times 9 is 27. Under the 9 is a red 3 on the left and a red 3 on the right, with an x in between meaning 3 times 3 is 9. The red numbers have a box around each one, indicating prime numbers.
    \(54 = 2 \times 3 \times 3 \times 3\)
    )
  6. 250 (
    Solução em Vídeo
    x
    Solução: \(250 = 2 \times 5 \times 5 \times 5\)
    Detalhes:

     | Transcrição)
Introdução às Frações