Introdução

Nesta lição, você aprenderá como encontrar a inclinação de uma reta entre dois pontos dados.

Esses vídeos ilustram o material da lição abaixo. Assistir aos vídeos é opcional.

• Como Encontrar a Equação de uma Reta Entre Dois Pontos | Transcrição
• Exemplo da Fórmula da Inclinação entre Dois Pontos | Transcrição

Como Encontrar a Equação de uma Reta

A inclinação mede o declive de uma reta ou a elevação dividida pela distância. Outra forma de pensar sobre isso é comparar o quanto uma reta sobe ou desce em relação ao quanto ela muda para a esquerda ou para a direita entre dois pontos. Isto é mostrado como um passo. Isto também é conhecido como taxa de variação de uma reta.

Exemplo 1

A Figura 1 mostra uma reta com dois pontos: \((-2,-1)\) e \((5,3)\). Suponha que esta reta represente os dados que uma empresa coletou. A empresa quer saber a taxa de variação que os dados descrevem.

Figura 1

A inclinação é a taxa de variação. Para encontrar a inclinação, crie um degrau. Primeiro, calcule a elevação. Isto ocorre porque você precisa encontrar a inclinação, m, que é igual à elevação sobre a distância. Isto também pode ser escrito como:

\begin{align*} m=\frac{elevação}{distância}\end{align*}

Figura 2

Observe o triângulo na Figura 2. Qual é o comprimento do cateto mais curto deste triângulo? A partir das informações fornecidas, você sabe que o maior valor de y é 3 e o menor valor de y é -1. Qual é a distância entre 3 e -1? Neste cenário, o comprimento deste lado do triângulo é de 4 unidades porque você está descendo de 3 para -1.

\begin{align*} Elevação &= y_2-y_1\\Elevação &= 3-(-1)&\color{navy}\small\text{Subtraia o menor valor de y do maior}\\Elevação &= 3+ 1\\\mathbf {Elevação} &\mathbf{= 4} \end{align*}

Figura 3

A distância é representada pela reta tracejada em azul. O maior valor de x é 5, e o menor valor de x é -2. Para encontrar a distância, comece em -2 e vá até 5 positivo para obter 7. Você também pode subtrair -2 de -5.

\begin{align*} Distância &= x_2-x_1\\Distância &= 5-(-2)&\color{navy}\small\text{Subtraia o menor valor de x do maior}\\Distância &= 5+ 2\\\mathbf{Distância\space} &\mathbf{= 7} \end{align*}

Agora, é hora de encontrar a inclinação da reta, ou \(m\). A inclinação é a elevação sobre a distância. Você acabou de determinar que a elevação é 4 e a distância é 7, então:

\begin{align*}m&= \frac{Elevação}{Distância}\\\\m& = \frac{4}{7}\end{align*}

A Fórmula da Inclinação

Como foi mostrado no Exemplo 1, você pode usar a fórmula da inclinação para encontrar a inclinação quando tiver dois pontos em qualquer reta que lhe derem:

\begin{align*} m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} \end{align*}

Uma coisa importante a se ter em mente sempre é manter os pontos organizados. Depois de designar ou rotular os pontos, não importa qual ponto você rotula como \((x_1,y_1)\) ou \((x_2,y_2)\), mas lembre-se de mantê-los em ordem.

Exemplo 2

Encontre a inclinação de uma reta com estes dois pontos: \((-4,2)\) e \((5, -1)\).

Figura 4

Primeiro, identifique qual ponto é \((x_1,y_1)\) e qual ponto é \((x_2,y_2)\). Não importa qual ponto você usa primeiro, mas mantenha-os em ordem. Rotule \((5,-1)\) como \((x_1,y_1)\) e \((-4, 2)\) como \((x_2,y_2)\). Agora, comece a substituir esses números na fórmula da inclinação para encontrar a inclinação desta reta.

\begin{align*} & m=\frac{y_{2-}y_{1}}{x_{2-}x_{1}} &\color{navy}\small\text{Comece com a fórmula da inclinação} \\\\ & m=\frac{2 - (-1)}{-4-5} &\color{navy}\small\text{Substitua os valores de x e y na fórmula} \\\\ &m=\frac{2 + 1}{-4-5} &\color{navy}\small\text{Subtraia um negativo para obter um positivo} \\\\ &m=\frac{3}{-9} &\color{navy}\small\text{Simplifique o numerador e o denominador} \\\\ &m=\frac{1}{-3} &\color{navy}\small\text{Simplifique a fração} \\\\ \end{align*}

Não se esqueça do sinal negativo. Não importa se você coloca o sinal negativo no numerador, no denominador ou apenas na frente. Tudo isso significa a mesma coisa. Enquanto houver um sinal negativo, a fração será negativa.

Então, a inclinação desta reta é \(m = -\frac{1}{3}\).

Em outras palavras, se você começar em um ponto e depois descer uma unidade e andar três unidades para o lado, você cruzará outro ponto na linha.

Lembre-se

• Para encontrar a inclinação de uma equação quando um gráfico de linha é fornecido, use \(m=\frac{elevação}{distância}\).

• Para encontrar a inclinação de uma equação quando dois pontos são dados, use a fórmula da inclinação:

  • \(m=\frac{y_{2-}y_{1}}{x_{2-}x_{1}}\).
  • Lembre-se de que os ys vão para cima e os xs vão para baixo.
• A forma inclinação-interseção de uma reta é \(y=mx+b\).

1. Encontre a inclinação da reta que contém os pontos \((10,−9)\) and \((7,6)\). (
   Solução

   x

   Solução: \(-5\)
   
   Detalhes:
   Você está tentando encontrar a inclinação da reta que conecta os pontos \((10,−9)\) e \((7,6)\).
   
   Lembre-se: \(\displaystyle{\text{Inclinação}}={\text{m}}=\frac{\text{elevação}}{\text{distância}}=\frac{{\text{y}}_{2}-{\text{y}}_{1}}{{\text{x}}_{2}-{\text{x}}_{1}}\)
   
   Passo 1: Decida qual par ordenado é o ponto 1 e qual é o ponto 2. Para este problema, \({\color{Red}(10,−9)}\) será \({\color{Red}{\text{ponto 1}}}\) e \({\color{blue}(7,6)}\) será \({\color{blue}{\text{ponto 2}}}\).
   
   (Observação: Não importa qual é qual, desde que você seja consistente em todo o problema.)
   
   Passo 2: Substitua os valores dos dois pontos na fórmula e simplifique:
   
   \(\displaystyle\frac{{\color{blue}{\text{y}}_{2}}-{\color{Red}{\text{y}}_{1}}}{{\color{blue}{\text{x}}_{2}}-{\color{Red}{\text{x}}_{1}}} = \frac{{\color{blue}6}-{\color{Red}(-9)}}{{\color{blue}7}-{\color{Red}10}} = \frac{15}{-3} = -5\)
   
   Portanto, a inclinação da reta é \(-5\).
   )
2. Encontre a inclinação da reta que contém os pontos \((10,−1)\) and \((14,−9)\). (
   Solução

   x

   Solução: \(-2\)
   )
3. Encontre a inclinação da reta que contém os pontos \((10,0)\) and \((17,−42)\). (
   Solução

   x

   Solução: \(-6\)
   )
4. Encontre a inclinação da reta que contém os pontos \((3,5)\) and \((13,20)\). (
   Solução

   x

   Solução: \(\dfrac{3}{2}\)
   
   Detalhes:
   Você está tentando encontrar a inclinação da reta que conecta os pontos de coordenadas \((3,5)\) e \((13,20)\).
   
   Lembre-se: \(\displaystyle{\text{Inclinação}}={\text{m}}=\frac{\text{elevação}}{\text{distância}}=\frac{{\text{y}}_{2}-{\text{y}}_{1}}{{\text{x}}_{2}-{\text{x}}_{1}}\)
   
   Passo 1: Decida qual par ordenado é o ponto 1 e qual é o ponto 2. Para este problema, \({\color{Red}(3, 5)}\) será \({\color{Red}{\text{ponto 1}}}\) e \({\color{blue}(13, 20)}\) será \({\color{blue}{\text{ponto 2}}}\).
   
   (Observação: Não importa qual é qual, desde que você seja consistente em todo o problema.)
   
   Passo 2: Substitua os valores dos dois pontos na fórmula e simplifique:
   
   \(\displaystyle\frac{\text{elevação}}{\text{distância}}=\frac{{\color{blue}{\text{y}}_{2}}-{\color{Red}{\text{y}}_{1}}}{{\color{blue}{\text{x}}_{2}}-{\color{Red}{\text{x}}_{1}}} = \frac{{\color{blue}20}-{\color{Red}5}}{{\color{blue}13}-{\color{Red}3}} = \frac{15}{10}\)
   
   Você pode dividir o numerador e o denominador por 5, pois é um fator comum de ambos, então \(\dfrac{15}{10}\) pode ser simplificado para \(\dfrac{3}{2}\)
   
   Portanto, a inclinação da reta é de \(\dfrac{3}{2}\)
   )
5. Encontre a inclinação da reta que contém os pontos \((−8,10)\) and \((−32,2)\). (
   Solução

   x

   Solução: \(\dfrac{1}{3}\)
   )
6. Encontre a inclinação da reta que contém os pontos \((8,−9)\) and \((−27,−30)\). (
   Solução

   x

   Solução: \(\dfrac{3}{5}\)
   )