Introdução
Nesta lição, você aprenderá como converter qualquer equação linear na forma inclinação-interseção de uma reta.
Este vídeo ilustra o material da lição abaixo. Assistir ao vídeo é opcional.
Conversão Linear em Inclinação-Interseção
Você pode usar as habilidades de resolução de uma variável para transformar qualquer equação linear em uma forma inclinação-interseção. Tudo o que você precisa fazer é resolver o y e depois organizar os termos de modo que o termo com x apareça primeiro.
- Equação linear: uma equação que é uma linha reta quando representada graficamente.
Veja aqui quatro equações diferentes:
- \(2x+3y=12\)
- \(4y=16\)
- \(-x=3y-9\)
- \(2=4y-12x\)
Cada uma destas equações representa uma linha reta; em outras palavras, cada uma delas é uma equação linear, mas todas parecem um pouco diferentes. É difícil dizer qual é a inclinação da reta ou quais são suas interseções se apenas olharmos para elas. Para ver a inclinação e a interseção em y facilmente, converta cada uma delas na forma inclinação-interseção de uma reta: \begin{align*} y=mx+b\end{align*} em que m é a inclinação e b é a interseção em y.
Cada uma das equações listadas acima pode ser transformada em uma forma inclinação-interseção ao resolver o y.
Exemplo 1
Converta a seguinte equação linear na forma inclinação-interseção: \(2x+3y=12\).
\begin{align*} 2x+3y &=12 &\color{navy}\small\text{Resolva o y}\\\\ 2x +3y \color{green}\text{ - 2x} &=12 \color{green}\text{ - 2x} &\color{navy}\small\text{Subtraia 2x de ambos os lados}\\\\ 3y &=12 - 2x &\color{navy}\small\text{Lado esquerdo: os 2x se cancelarão}\\\\ \frac{3y}{\color{green}\text{3}} &=\frac{12 - 2x} {\color{green}\text{3}} &\color{navy}\small\text{Divida ambos os lados por 3}\\\\ y &=\frac{12}{3} \frac{- 2x}{3}&\color{navy}\small\text{Lado esquerdo: os 3 se cancelam}\\\\ y &=4 -\frac{2x}{3}&\color{navy}\small\text{Lado direito: simplifique as frações}\\\\ y &=-\frac{2x}{3} + 4&\color{navy}\small\text{Reescreva na forma inclinação-interseção} \end{align*}
Com esta forma, você pode identificar instantaneamente qual é a inclinação da equação e qual é a interseção em y. A inclinação é \(-\frac{2}{3}\), e a interseção em y é 4.
Você deve isolar o y sozinho no lado esquerdo da equação. Na realidade, não importa se você o isola no lado esquerdo ou direito, desde que todo o resto seja igual a y, mas se você o isolar no lado esquerdo, ele ficará exatamente igual à com a equação da forma inclinação-interseção: \(y=mx+b\).
Exemplo 2
Converta a seguinte equação linear na forma inclinação-interseção: \(4y=16\).
\begin{align*} 4y &= 16 &\color{navy}\small\text{Resolva o y}\\\\ \frac{4y}{\color{green}\text{4}} &=\frac{16} {\color{green}\text{4}} &\color{navy}\small\text{Divida ambos os lados por 4}\\\\ y &=\frac{16}{4} &\color{navy}\small\text{Lado esquerdo: os 4 se cancelam}\\\\ y &=4 &\color{navy}\small\text{Forma inclinação-interseção} \end{align*}
A equação final é \(y=4\). Isto não se parece exatamente com \(y=mx+b\), mas é. Neste caso, o m é apenas zero, então você pode reescrever isso como \(y=0x+4\).
Exemplo 3
Converta a seguinte equação linear na forma inclinação-interseção: \(-x=3y-9\). \begin{align*} -x &=3y-9 &\color{navy}\small\text{Resolva o y}\\\\ -x \color{green}\text{ +9} &=3y - 9 \color{green}\text{ + 9} &\color{navy}\small\text{Some 9 a ambos os lados}\\\\ -x + 9 &=3y &\color{navy}\small\text{Lado direito: os 9 se cancelarão}\\\\ \frac{-x+9}{\color{green}\text{3}} &=\frac{3y} {\color{green}\text{3}} &\color{navy}\small\text{Divida ambos os lados por 3}\\\\ \frac{-x}{3} +\frac{9}{3} &=y &\color{navy}\small\text{Lado esquerdo: os 3 se cancelam}\\\\ -\frac{1}{3}x + 3& = y&\color{navy}\small\text{Lado esquerdo: simplifique as frações}\\\\ y&=-\frac{1}{3}x + 3 &\color{navy}\small\text{Reescreva na forma inclinação-interseção} \end{align*}
\(-\frac{1}{3}x+3=y\) é o mesmo que dizer \(y=-\frac{1}{3}x+3\), que está na forma \(y=mx+b\). A inclinação é \(-\frac{1}{3}\), e a interseção em y é 3.
Exemplo 4
Converta a seguinte equação linear na forma inclinação-interseção: \(2=4y-12x\). Isto é o mesmo que \(4y-12x=2\). \begin{align*} 4y -12x &=2 &\color{navy}\small\text{Resolva o y}\\\\ 4y -12x \color{green}\text{ + 12x} &=2 \color{green}\text{ + 12x} &\color{navy}\small\text{Some 12x a ambos os lados}\\\\ 4y &=12x + 2 &\color{navy}\small\text{Lado esquerdo: os 12x se cancelarão}\\\\ \frac{4y}{\color{green}\text{4}} &=\frac{12x + 2} {\color{green}\text{4}} &\color{navy}\small\text{Divida ambos os lados por 4}\\\\ y &=\frac{12}{4}x + \frac{2}{4}&\color{navy}\small\text{Lado esquerdo: os 4 se cancelam}\\\\ y &= 3x + \frac{1}{2}&\color{navy}\small\text{Lado direito: simplifique as frações} \end{align*}
\(y=3x+\frac{1}{2}\) já está na forma inclinação-interseção. Com esta forma, você vê que a inclinação é 3, e a equação cruza o eixo y em \(\frac{1}{2}\).
Lembre-se
Só porque uma equação não está na forma inclinação-interseção, não significa que não é possível resolver o m e o b.
- Reorganize a equação para isolar ou resolver o y.
- Lembre-se de multiplicar pelo inverso multiplicativo para desfazer as frações com base na variável.
- Verifique seu trabalho após cada passo!
Problemas Práticos
Transforme as seguintes equações na forma inclinação-interseção de uma reta:
1. \({\text{y}}+14=-4{\text{x}}\) (