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Encontrar as Interseções em X e Y de uma Reta Usando Álgebra
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Introdução

Nesta lição, você aprenderá como encontrar as interseções em X e em Y usando álgebra.

Este vídeo ilustra o material da lição abaixo. Assistir ao vídeo é opcional.

Quando a equação é escrita na forma inclinação-interseção (\(y=mx+b\)), você pode encontrar a interseção em Y observando a equação. O valor de b é a interseção em y. Isto ocorre porque a interseção em y acontece quando o valor de x é igual a 0.

\begin{align*} y&=mx+b &\color{navy}\small\text{Forma inclinação-interseção}\\\\ y&=m(0)+b &\color{navy}\small\text{Substitua x=0}\\\\ y&=0+b &\color{navy}\small\text{Multiplique a inclinação & 0}\\\\ y&=b &\color{navy}\small\text{Simplifique para que y = b}\end{align*}

Então, quando \(x = 0\), a interseção em Y é b.

Para encontrar a interseção em X, defina \(y = 0\) e resolva a equação para encontrar x. Isto ocorre porque quando \(y = 0\), a reta cruza o eixo x.

Exemplo 1

Use a seguinte equação para encontrar a interseção em x e a interseção em y: \(y=\frac{3}{4}x-2\).

  • A interseção x é encontrada sempre que \(y=0\).
  • A interseção y é encontrada sempre que \(x=0\).

Comece encontrando a interseção em X:

\begin{align*}y&=\frac{3}{4}x-2 &\color{navy}\small\text{Equação dada}\\\\0&=\frac{3}{4}x-2 &\color{navy}\small\text{Defina y = 0 para encontrar a interseção em X}\\\\0 \color{green}\mathbf{+2} &=\frac{3}{4}x-2 \color{green}\mathbf{+2} &\color{navy}\small\text{Inverso aditivo}\\\\2 &=\frac{3}{4}x &\color{navy}\small\text{Simplifique ambos os lados}\\\\2 \color{green}\mathbf{ (\frac{4}{3})} &=\frac{3}{4}x \color{green}\mathbf{(\frac{4}{3})} &\color{navy}\small\text{Multiplique ambos os lados pelo recíproco}\\\\\frac{8}{3} &= x &\color{navy}\small\text{Simplifique ambos os lados}\end{align*}

A interseção em X é \((\frac{8}{3},0)\), ou 2.67.

Agora, calcule a interseção em y:

\begin{align*}y&=\frac{3}{4}x-2 &\color{navy}\small\text{Equação dada}\\\\y&=\frac{3}{4}(0)-2 &\color{navy}\small\text{Defina x = 0 para encontrar a interseção em Y}\\\\y&=0-2 &\color{navy}\small\text{Multiplique \(\frac{3}{4} (0)\) = 0}\\\\y&=-2 &\color{navy}\small\text{Simplifique usando a subtração}\end{align*}

Na equação \(y=mx+b\), o b na equação é a interseção em Y.

A interseção em Y é -2, que pode ser escrita como um par ordenado \((0, -2)\).

Exemplo 2

Exemplo 2

Use a seguinte equação para encontrar a interseção em x e a interseção em y: \(3y-6x=12\).

No Exemplo 1, a equação estava na forma inclinação-interseção. Esta equação está em um formato diferente. No entanto, você ainda pode usar os mesmos princípios para encontrar as interseções em X e em Y. Lembre-se:

  • A interseção x é encontrada sempre que \(y=0\).
  • A interseção y é encontrada sempre que \(x=0\).

Comece encontrando a interseção em X:

\begin{align*}3y - 6x&=12 &\color{navy}\small\text{Equação dada}\\\\3(0) - 6x&=12 &\color{navy}\small\text{Defina y = 0 para encontrar a interseção em X}\\\\-6x & =12 &\color{navy}\small\text{Multiplique 3(0) = 0}\\\\\frac{-6x}{\color{green}\mathbf{-6}} &=\frac{12}{\color{green}\mathbf{-6}} &\color{navy}\small\text{Divida ambos os lados por-6}\\\\x &=-2 &\color{navy}\small\text{Simplifique ambos os lados}\end{align*}

A interseção em X é \((-2,0)\).

Agora, calcule a interseção em y:

\begin{align*}3y - 6x&=12 &\color{navy}\small\text{Equação dada}\\\\3y - 6(0)&=12 &\color{navy}\small\text{Defina x = 0 para encontrar a interseção em Y}\\\\3y & =12 &\color{navy}\small\text{Multiplique -6(0) = 0}\\\\\frac{3y}{\color{green}\mathbf{3}} &=\frac{12}{\color{green}\mathbf{3}} &\color{navy}\small\text{Divida ambos os lados por 3}\\\\y &=4 &\color{navy}\small\text{Simplifique ambos os lados}\end{align*}

Lembre-se

  • Para encontrar a interseção em x, defina \(y = 0\) e resolva o x. O ponto será \((x, 0)\).
  • Para encontrar a interseção em y, defina \(x = 0\) e resolva o y. O ponto será \((0, y)\).

Problemas Práticos

1. Encontre a interseção em Y da reta: (
Solução
x
Solução: \(y=-9\)
)

\({\text{y}}=-3{\text{x}}-9\)

2. Encontre a interseção em X da reta: (
Solução
x
Solução: \(x=3\)
)

\({\text{y}}=-4{\text{x}}+12\)

3.Encontre a interseção em Y da reta: (
Solução
x
Solução: \(y=9\)

Detalhes:
Para encontrar a interseção em Y, defina \({\color{Red}x = 0}\) e resolva o y. O ponto será \((0,y)\):

\(y − 9 = 3{\color{Red}x}\)

Substitua \({\color{Red}0}\) por \({\color{Red}x}\):

\(y − 9 = 3 {\color{Red}(0)}\)

Multiplique 3 por 0, o que lhe dará:

\(y − 9 = {\color{Red}0}\)

Em seguida, some 9 a ambos os lados para isolar y:

\(y − 9 {\color{Red}+9} = 0 {\color{Red}+9}\)

O que resulta em:

\(y = 9\)

Portanto, a interseção em y é \((0,9)\).
)

\({\text{y}} − 9 = 3x\)

4. Encontre a interseção em X da reta: (
Solução
x
Solução: \(x=6\)
)

\({\text{y}} + 12 = 2x\)

5. Encontre a interseção em Y da reta: (
Solução
x
Solução: \(y=-4\)
)

\({\text{x}}+6{\text{y}}=-24\)

6. Encontre a interseção em X da reta: (
Solução
x
Solução: \(x=-4\)

Detalhes:
Para encontrar a interseção em X:, defina \({\color{Red}y = 0}\) e resolva o x. O ponto será \((x,0)\):

\(5{\text{x}}+4{\text{y}}=-20\)

Substitua \({\color{Red}0}\) por y:

\(5{\text{x}}+4{\color{Red}(0)}=-20\)

Multiplique 4 por 0, o que lhe dará:

\(5{\text{x}}+{\color{Red}0}=-20\)

Some 5x a 0:

\(\frac{1}{5}(5{\text{x}})\) = \(5{\text{x}}=-20\)

Em seguida, multiplique ambos os lados por \(\dfrac{1}{5}\) (ou divida ambos os lados por 5, ambos darão a mesma solução):

\(-20\dfrac{1}{5}\)

O que resulta em:

\({\text{x}}=-4\)

Então, a interseção em x é \((-4,0)\).
)

\(5{\text{x}}+4{\text{y}}=-20\)

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