Introdução
Nesta lição, você aprenderá como encontrar a forma de ponto-inclinação de uma reta.
Este vídeo ilustra o material da lição abaixo. Assistir ao vídeo é opcional.
Forma de Ponto-Inclinação de uma Reta
Com a forma inclinação-interseção, você conhece a inclinação (\(m\)) e a interseção em y (\(b\)). Por exemplo: \(y=mx+b \Rightarrow y=\frac{2}{3}x+3\), em que a inclinação é \(\frac{2}{3}\) e a interseção em y é 3.
A forma de ponto-inclinação de uma reta não inclui a interseção em y. A forma de ponto-inclinação de uma reta é \(y - y_{1} = m(x - x_{1}\)), em que \(m\) é a inclinação e (\(x_{1}, y_{1}\)) e (\(x_{2}, y_{2}\)) fornecem as coordenadas da reta.
Você ainda pode encontrar a equação de uma reta sem a interseção em y usando dois métodos:
- O método de substituição com a forma inclinação-interseção: \(y = mx + b\)
- O método de substituição, mas usando a forma de ponto-inclinação: \(y - y_{1} = m(x - x_{1})\)
Exemplo 1
Encontre a equação de uma reta que passa pelo ponto \((4, 5)\) e tem uma inclinação de \(\frac{2}{3}\). Simplifique para a forma inclinação-interseção e preencha o valor ausente: \(y= \frac{2}{3}x\space+\) _______.
\begin{align*} y&=mx+b &\color{navy}\small\text{Fórmula da forma inclinação-interseção}\\\\ 5&=\frac{2}{3}(4)+b &\color{navy}\small\text{Substitua \(m=\frac{2}{3}, x =4, y =5\)}\\\\ 5&=\frac{8}{3}+b & \color{navy}\small\text{Multiplique \(\frac{2}{3}(4)\), que dá \(\frac{8}{3}\)}\\\\ 5 \color{green}\mathbf{-\frac{8}{3}} &=\frac{8}{3}+b \color{green}\mathbf{-\frac{8}{3}} &\color{navy}\small\text{Subtraia \(\frac{8}{3}\) de ambos os lados}\\\\ 5 \color{green}\mathbf{-\frac{8}{3}} &= b &\color{navy}\small\text{Lado direito: o \(\frac{8}{3}\) será cancelado}\\\\ \frac{7}{3}&= b &\color{navy}\small\text{Lado esquerdo: \(5-\frac{8}{3} = \frac{15}{3} - \frac{8}{3} = \frac{7}{3}\)}\\\\ b&=\frac{7}{3} &\color{navy}\small\text{O valor da interseção em y} \end{align*}
Com essas informações, a forma inclinação-interseção é \(y=\frac{2}{3}x+\frac{7}{3}\)
Esta equação de uma reta passa pelo ponto \((4, 5)\) e tem uma inclinação de \(\frac{2}{3}\), com a interseção em y em \(\frac{7}{3}\).
Exemplo 2
Repita o Exemplo 1, mas use o método de substituição usando a forma de ponto-inclinação.
\begin{align*} y-y_{1}&=m(x-x_{1}) &\color{navy}\small\text{Fórmula da forma de ponto-inclinação}\\\\ y-5&=\frac{2}{3}(x-4) &\color{navy}\small\text{Substitua \(m=\frac{2}{3}, x_{1} =4, y_{1}=5\)}\\\\ y-5& = \frac{2}{3}x - \frac{8}{3} &\color{navy}\small\text{Lado direito: propriedade distributiva}\\\\ y-5 \color{green}\mathbf{+5} &= \frac{2}{3}x - \frac{8}{3} \color{green}\mathbf{+5} &\color{navy}\small\text{Some 5 a ambos os lados}\\\\ y&= \frac{2}{3}x - \frac{8}{3} \color{green}\mathbf{+5} &\color{navy}\small\text{Lado esquerdo: os 5 se cancelam}\\\\ y&= \frac{2}{3}x + \frac{7}{3} &\color{navy}\small\text{Lado direito: \(-\frac{8}{3} +5 = -\frac{8}{3} + \frac{15}{3} = \frac{7}{3}\)} \end{align*}
A equação final é \(y=\frac{2}{3}x+\frac{7}{3}\).
Observe como os resultados do Exemplo 1 e 2 são iguais.
Lembre-se
- Você pode usar o método de substituição ou a fórmula da forma de ponto-inclinação de uma reta para escrever uma equação na forma inclinação-interseção.
- Lembre-se de verificar seu trabalho durante todo o processo.
- A forma de ponto-inclinação de uma reta é \(y - y_{1} = m(x - x_{1}\)).
Problemas Práticos