Introdução

Nesta lição, você revisará o significado de inclinação. A inclinação de uma reta representa como os valores do eixo y mudam em comparação com os números no eixo x. Isto também é chamado de taxa de variação.

Interpretação de Inclinações

Revise as seguintes definições em preparação para esta lição:

• Inclinação positiva: Os valores de Y estão crescendo em comparação aos valores de x.
• Inclinação negativa: Os valores de Y estão diminuindo/decaindo em comparação com os valores de x.
• Inclinação 0: Não há alteração nos valores de y em comparação com os valores de x.
• Quanto maior a inclinação, mais íngreme a reta ou, em outras palavras, maior a taxa de variação.
• Quanto menor a inclinação, mais lento será o crescimento ou decaimento e mais lenta será a taxa de variação.
• A taxa de variação dita quanta mudança há em uma única unidade de medida. Ela também pode lhe ajudar a prever o que acontecerá no futuro.

Exemplo 1

A tabela a seguir contém dados sobre a altura de uma planta em diferentes momentos. Observação: A planta já tem 40 mm de altura quando os dados começam a ser coletados.

Só de olhar para estes dados, é difícil visualizar o que eles estão dizendo, mas um gráfico pode ajudar. Neste caso, a variável independente (eixo x) é o tempo, porque o tempo acontece independentemente de a planta crescer ou não. Ele não depende da altura da planta. O eixo y é a variável dependente porque a altura da planta depende de há quanto tempo ela está crescendo.

Basta olhar para estes dados para perceber o que eles significam. Isto significa que a planta está crescendo rápido, devagar ou nem um pouco? Um gráfico pode te ajudar a visualizar isso.

Figura 1

A Figura 1 mostra os dados em um gráfico. Você pode usar os dados e o gráfico para calcular a inclinação da reta. Esta inclinação informa o quanto a planta cresce em média a cada hora. Em outras palavras, a inclinação é a taxa de variação ou, neste caso, a taxa de crescimento.

Encontre a Inclinação

Método do Degrau

Você vê que o crescimento da reta entre \(x=0\) e \(x=1\) é o crescimento de uma unidade no eixo x. Você pode usar os valores de y da tabela acima para calcular a elevação deste degrau.

Veja abaixo uma parte do gráfico ampliada entre \(x=0\) e \(x=1\).

Figura 2

É importante observar que a escala dos números do eixo x é diferente da escala dos números do eixo y. É por isso que a quantidade de variação na direção x é 1 e a quantidade de variação na direção y é 38. Isto significa que a inclinação é 38.

Método da Fórmula da Inclinação

\begin{align*}\text{inclinação}= \text{m} = \frac{\text{elevação}}{\text{distância}}=\frac{\text{variação nos valores de y}}{\text{variação nos valores de x}} \end{align*}

Estas informações mostram que a planta cresce 38 mm em uma hora. Esta é a inclinação. Como a linha é reta, a inclinação do restante da linha é a mesma. Você pode usar isso para responder a alguns dos seguintes tipos de perguntas, incluindo prever o que acontecerá no futuro.

1. Supondo que o crescimento permaneça o mesmo, quanto a planta crescerá na próxima hora? (
   Solução

   x

   Solução: 38 mm
   Detalhes:
   Novamente, esta questão pergunta sobre a taxa de variação ou inclinação. Neste caso, ele crescerá mais 38 mm.
   )
2. Supondo que o crescimento permaneça o mesmo, qual será a altura da planta no fim da próxima hora? (
   Solução

   x

   Solução: 762 mm depois de 19 horas
   
   Detalhes:
   Esta questão pede que você use a taxa de variação e some-a ao último valor y dos dados.
   \(724 + 38 = 762\; \text{mm}\)
   A planta terá 762 mm depois de 19 horas.
   )
3. Qual será a altura da planta no fim de um dia (24 horas)? (
   Solução

   x

   Solução: \(724+228=952\;\text{mm}\) de altura
   
   Detalhes:
   
   Você pode usar a inclinação para obter ajuda para prever o gráfico. A primeira forma de fazer isso é estender a linha até quando \(x=24\) para estimar o ponto. Uma forma mais precisa de fazer previsões é somar a taxa de variação para cada hora adicional necessária até 24 horas.
   
   Neste caso, a última medição de altura foi às 18 horas e foi de 724 mm. Se a planta crescer nessa mesma taxa por mais 6 horas, ela crescerá mais \(6\times38=228\; \text{mm}\). Assim, ao fim de um dia (24 horas), terá \(724+228=952\;\text{mm}\) de altura.
   
   )

Você pode ver que este é um elemento significativo ao comparar a taxa de variação da planta de bambu com a taxa de variação do kudzu, outra planta de crescimento rápido. Os dados relacionados ao kudzu são mostrados nesta tabela.

A Figura 3 é um gráfico que mostra a linha de crescimento do bambu (linha azul) e a linha do kudzu (linha verde).

Figura 3

Observando os dados no gráfico, você pode ver que a taxa de variação do bambu é muito maior que a taxa de variação do kudzu, embora ambos cresçam rapidamente. Você pode usar o gráfico do kudzu para responder a muitas das mesmas perguntas que você respondeu sobre o bambu, mas, primeiro, deve encontrar a inclinação do crescimento do kudzu.

Figura 4

Use o método dos degraus. O degrau tem 8 unidades de comprimento. Para encontrar a taxa de variação do degrau, divida a elevação pela distância.

\begin{align*}\frac{\text{elevação}}{\text{distância}}=\frac{104}{8}=\frac{13}{1}=13\end{align*}

Isto significa que a taxa de variação do kudzu é de 13 mm/hora.

Agora você pode usar isso para responder às perguntas sobre o kudzu.

Problemas Práticos

Use as informações anteriores desta lição sobre o crescimento do kudzu para responder a cada uma das seguintes perguntas:

6. Qual será a altura do kudzu no fim de um dia (24 horas)? (

Solução

x

Solução: \(274+78=352\; \text{mm}\)

Detalhes:
O último ponto de dados foi às 18 horas, então queremos saber qual será a altura 6 horas depois.
Em 6 horas, o kudzu crescerá \(6x\times13=78\; \text{mm}\).

Isto significa que a altura total em 24 horas será de \(274+78=352\; \text{mm}\).
Se você estender a linha para 24 horas, poderá ver isso no gráfico.

)