Introdução
Nesta lição, você aprenderá como localizar valores em uma função. Você também aprenderá a diferença entre dados discretos e contínuos e como mostrar cada um desses tipos em um gráfico.
Esses vídeos ilustram o material da lição abaixo. Assistir aos vídeos é opcional.
- Representar Valores de uma Função no Gráfico | Transcrição
- Dados e Gráficos Discretos e Contínuos | Transcrição
Localizar Valores de Uma Função
Uma função é um conjunto de regras em que, para cada entrada, você obtém apenas uma saída. As funções são representadas na matemática como equações com duas variáveis: x e y. O x é a entrada e o y é a saída. Para cada x que você insere na equação, você obtém apenas um y.
Você pode representar funções em um gráfico usando um plano de coordenadas no qual as coordenadas são x (a entrada) e y (a saída). O ponto fica escrito assim: (x, y). As funções nesta lição criam um padrão de pontos que formam uma linha.
Exemplo 1
Localize os valores desta função: \( y=\frac{1}{2}x\).
Primeiro, comece inserindo os valores de x e resolvendo o y. Você pode substituir qualquer valor por x que faça sentido, mas geralmente é mais fácil começar com 1. Crie uma coluna para os valores x e uma coluna para os valores y.
Figura 1
\begin{align*} y &=\frac{1}{2} (1) &\color{navy}\small\text{Substitua x =1}\\\ y &=\frac{1}{2} &\color{navy}\small\text{Simplifique para o valor de y} \end{align*}
Então, o primeiro ponto é (1, \(\frac{1}{2}\)). A Figura 2 mostra onde ele está localizado:
Figura 2
Encontre outro ponto usando 0 para x. Se você traçar um ponto em que x é 0, descobrirá onde a função, ou linha, cruza o eixo y.
\begin{align*} y &=\frac{1}{2} (0) &\color{navy}\small\text{Substitua x =0}\\\ y &=0 &\color{navy}\small\text{Simplifique para o valor de y} \end{align*}
O próximo ponto é (0,0), que é a origem.
Figura 3
Para o próximo valor de x, use -1.
\begin{align*} y &=\frac{1}{2} (-1) &\color{navy}\small\text{Substitua x =-1}\\\ y &=-\frac{1}{2} &\color{navy}\small\text{Simplifique para o valor de y} \end{align*}
O próximo ponto \((-1, -\frac{1}{2})\). Está representado na Figura 4.
Figura 4
Agora que você traçou alguns pontos, pode ver que \( y=\frac{1}{2}x\) cria um padrão. Você só precisa de 2 pontos para determinar uma linha, mas ajuda ter um terceiro ponto para garantir que o gráfico seja uma linha reta.
Figura 5
Você pode verificar os pontos na linha para ter certeza de que ela segue o padrão. Por exemplo, olhando para a reta, parece que quando x é 4, y é 2:
\begin{align*} y &=\frac{1}{2} (4) &\color{navy}\small\text{Substitua x =4}\\\\\ y &= 2 &\color{navy}\small\text{Simplifique para o valor de y} \end{align*}
O ponto (4, 2) está correto.
Com base nesta equação, a linha continuará até o infinito em ambas as direções, então há um número infinito de pontos nesta linha.
Figura 6
Dados e Gráficos Discretos e Contínuos
Às vezes, você traça pontos que não formam um padrão perfeito ou que não têm valores entre eles. Isto se chama “dados discretos”, e você não conecta os pontos com uma linha.
- Os dados discretos são um conjunto de dados em que os pontos são separados e distintos. Um gráfico de dispersão é um exemplo de dados discretos. É um conjunto específico de dados com coisas que não podem ser medidas continuamente, o que significa que contém números inteiros positivos ou números naturais.
Um exemplo de dados discretos é o número de pessoas em uma escola; deve ser um número inteiro positivo ou número natural porque você não pode ter uma fração de uma pessoa. Outros exemplos de dados discretos incluem o número de cavalos em um celeiro ou a quantidade de estoque em uma loja. Se a loja vende livros, então o número de livros é um dado discreto porque você só pode contar o número de livros como números inteiros positivos ou números naturais.
Exemplo 2
O gráfico abaixo exibe o número de estudantes em uma escola com base na data. Represente os dados em um gráfico.
| Data | Número de Estudantes |
| 1-Fev | 55 |
| 2-Fev | 54 |
| 3-Fev | 59 |
| 4-Fev | 62 |
| 5-Fev | 53 |
Figura 7
Estes dados podem ser representados graficamente usando um gráfico de dispersão porque os pontos são distintos. A frequência na escola é específica para o dia, e não há valores entre os quais você possa ter frações de um estudante, então estes são dados discretos.
Quando você localiza alguns pontos de uma função e depois conecta os pontos com uma linha, você está demonstrando dados contínuos. Se você escolhesse qualquer número entre os pontos que traçou, a saída da equação estaria na linha por causa do padrão que a função faz.
- Os dados contínuos são um conjunto de dados que podem ser medidos continuamente. Mesmo que haja pontos específicos nos dados, também há dados adicionais e infinitos entre estes pontos.
A temperatura é um exemplo de dados contínuos. Se você medir a temperatura entre o Minuto 1 e o Minuto 2 e compará-las, as temperaturas podem ser diferentes, mas a temperatura não saltou diretamente de um ponto para o outro. A temperatura aumentou (ou diminuiu) gradualmente de uma para outra. O mesmo acontece com um carro. A velocidade de um carro aumenta ou diminui gradualmente. Ela não salta de 10 milhas por hora para 20 milhas por hora. Há um aumento contínuo na velocidade entre os dois pontos.
Exemplo 3
O gráfico abaixo mostra o tempo em segundos que um carro leva para atingir uma determinada velocidade. Represente os dados em um gráfico.
| Tempo em Segundos | Velocidade |
| 0 | 0 |
| 1 | 5 |
| 2 | 11 |
| 3 | 18 |
| 4 | 26 |
| 5 | 35 |
| 6 | 45 |
| 7 | 56 |
| 8 | 68 |
| 9 | 69 |
| 10 | 70 |
Figura 8
Para representar uma função contínua em um gráfico, use uma linha entre os pontos. No gráfico, você vê que o carro fica cada vez mais rápido a cada segundo, mas entre cada um desses segundos há um número infinito de outras velocidades correspondentes a frações de segundo, o que torna estes dados contínuos. Você poderia medir em frações cada vez menores de segundo e ainda encontrar a velocidade do carro no momento que a medição foi feita.
Lembre-se
- Uma função é uma equação em que cada entrada x tem apenas uma saída y.
Os dados discretos são um conjunto de dados em que os pontos são separados e distintos.
- São dados que podem ser contados.
- Em um gráfico, os pontos não estão conectados. Um exemplo é um gráfico de dispersão.
Os dados contínuos são um conjunto de dados que podem ser medidos continuamente.
- São dados que podem ser medidos.
- Em um gráfico, os pontos são conectados.
Problemas Práticos
3. Um criador de galinhas vende frangas (galinhas jovens que acabaram de começar a botar ovos) por \($25\) cada. O criador cobra um adicional de \($100\) para entregar os animais, independentemente da quantidade adquirida. Se você deixar F representar o número de frangas vendidas, pode representar o custo total (T) como \(T = 100 + 25F\). Crie um gráfico que ilustre a relação entre F e T, supondo que o número de frangas compradas esteja entre 1 e 8.
(Dica: Use a equação para o custo total. Crie uma tabela com valores de entrada de 1 a 8 e calcule as saídas para encontrar as coordenadas que você precisa representar em um gráfico.) (O custo total de compra das frangas pode ser representado pela equação \(T = 100 + 25 F\), em que T é o custo total e F é o número de frangas que você comprou.
Se você comprar \({\color{Red}1}\) franga, poderá descobrir o custo total substituindo 1 na equação, \(T = 100 + 25 F\) por F:
\(T = 100 + 25 ({\color{Red}1})\)
Em seguida, multiplique 25 por \({\color{Red}1}\), que lhe dará:
\(T = 100 + {\color{Red}25}\)
Em seguida, some 25 a 100:
\(T = 125\)
Portanto, o custo total de uma franga seria de \($125\).
Continue o mesmo processo para a compra de 2 a 8 frangas.
| F | T | Como sabemos o custo total? |
| 1 | 125 | T = 100 + 25F T = 100 + 25 (1) T = 100 + 25 T = 125 |
| 2 | 150 | T = 100 + 25F T = 100 + 25 (2) T = 100 + 50 T = 150 |
| 3 | 175 | T = 100 + 25F T = 100 + 25 (3) T = 100 + 75 T = 175 |
| 4 | 200 | T = 100 + 25F T = 100 + 25 (4) T = 100 + 100 T = 200 |
| 5 | 225 | T = 100 + 25F T = 100 + 25 (5) T = 100 + 125 T = 225 |
| 6 | 250 | T = 100 + 25F T = 100 + 25 (6) T = 100 + 150 T = 250 |
| 7 | 275 | T = 100 + 25F T = 100 + 25 (7) T = 100 + 175 T = 275 |
| 8 | 300 | T = 100 + 25F T = 100 + 25 (8) T = 100 + 200 T = 300 |
Agora, você pode localizar cada um dos oito pontos no gráfico:
