Introdução
Nesta lição, você aprenderá a representar graficamente uma reta usando a inclinação e a interseção em y.
Este vídeo ilustra o material da lição abaixo. Assistir ao vídeo é opcional.
Representação Gráfica de uma Reta Usando a Inclinação e a Interseção em Y
A forma inclinação-interseção de uma reta é \(y=mx+b\), em que m representa a inclinação e b é a interseção em y.
Exemplo 1
Represente graficamente a seguinte reta dada na forma de interseção em y: \(y=3x+\frac{1}{2}\).
Você pode fazer a representação em gráfico disso ao substituir os valores de x e resolver y, mas, com a forma inclinação-interseção de uma reta, um dos pontos já está dado (b, ou a interseção em y). A interseção em y está em \(y=\frac{1}{2}\). Este ponto é escrito como \((0,\frac{1}{2})\), em que x é 0 e y é \(\frac{1}{2}\).
Figura 1
Você só precisa de dois pontos para determinar uma linha reta. Use a inclinação (m), ou \(\frac{elevação}{distância}\), para encontrar um segundo ponto em relação à interseção em y (b).
\begin{align*} m=\frac{elevação}{distância} = \frac{3}{1}\end{align*}
Em outras palavras, para cada três unidades que você sobe, você dá um passo para a direita. Para traçar o segundo ponto, siga estes passos:
- Comece no ponto que você já tem, que é conhecido como interseção em y, \((0,\frac{1}{2})\)
- Vá três unidades para cima e uma unidade para a direita.
- Você chega a \((1,3\frac{1}{2})\). Trace este ponto como seu segundo ponto.
Agora que você tem dois pontos, pode desenhar uma linha entre eles, e esse será o gráfico desta reta.
Figura 2
Exemplo 2
Represente graficamente a seguinte reta dada na forma de interseção em y: \(y=-\frac{3}{4}x-2\).
Mais uma vez, você sabe que o primeiro ponto está em \((0, -2)\) porque -2 é a interseção em y, então quando \(x = 0\), \(y = -2\) (ver Figura 3).
Figura 3
Agora você só precisa encontrar outro ponto usando a inclinação (m).
\begin{align*} m = \frac{Elevação}{Distância} = -\frac{3}{4}\end{align*}
Uma inclinação negativa vai do canto superior esquerdo em direção ao canto inferior direito. Você pode encontrar facilmente o segundo ponto usando esta inclinação. É muito importante lembrar que as inclinações abaixo são as mesmas.
\begin{align*} \frac{-3}{4} = \frac{3}{-4} \end{align*}
- Você pode descer três pontos e ir quatro pontos para a direita, o que dá: \((4,-5)\)
- Ou você pode subir três pontos e andar quatro pontos para a esquerda, o que dá: \((-4,1)\).
De qualquer forma, uma das direções precisa ser negativa e a outra precisa ser positiva.
Figura 4
A Figura 4 mostra a reta de \(y=-\frac{3}{4}x-2\). Qualquer ponto nesta reta tornará esta equação correta.
Lembre-se
- Você precisa de no mínimo dois pontos para encontrar a reta de uma equação.
Os passos para representar graficamente uma equação usando a inclinação e a interseção em y:
Passo 1: Trace a interseção em y a partir da forma inclinação-interseção.
- A interseção y = b da equação \( y = mx + b \)
- ponto será \((0, b)\).
Passo 2: Use a inclinação (m), ou \(\frac{elevação}{distância}\), para encontrar o segundo ponto da reta a partir da interseção em y.
- Dê passos simples, usando a elevação e a distância a partir do ponto da interseção em y.
- Passo 3: Conecte os dois pontos com sua reta.
- Step 3: Connect those two points with your line.
Problemas Práticos
- Trace a reta \(y=−3x+2\) começando com a interseção em y e depois usando a inclinação. (
Observação: O gráfico que você criar pode ficar um pouco diferente dependendo do espaçamento escolhido para os eixos x e y. O gráfico correto ainda deve ter a mesma direção de inclinação com as mesmas interseções em X e em Y.
Detalhes:
Para representar graficamente esta reta, você precisa identificar a inclinação e a interseção em y. A equação é escrita na forma inclinação-interseção, \(y=mx+b\), em que m é o declive e b é a interseção em y.
Passo 1: Encontre a inclinação e a interseção em y da reta:
A equação da reta é
\({\text{y}}={\color{red}-3}{\text{x}}{\color{blue}+2}\)
Portanto, a inclinação é \({\color{red}-3}\), e a interseção em y é \({\color{blue}2}\).
Passo 2: Represente graficamente a interseção em y:
Esta é uma imagem de um plano de coordenadas com o ponto \((0,2)\) representado graficamente nele.
Passo 3: Encontre outro ponto na reta usando a inclinação:
A inclinação é \(−3\), que você pode reescrever como \(-\dfrac{3}{1}\). A inclinação é \(\dfrac{\text{elevação}}{\text{distância}}\), o que significa que, para encontrar outro ponto no gráfico, você começa na interseção y e depois desce três espaços, e então anda um espaço para a direita:
Esta é uma imagem de um plano de coordenadas. O ponto \((0,2)\) foi representado graficamente. Há uma seta apontando para baixo três espaços de \((0,2)\) até o ponto \((0,−1)\). Há outra seta apontando de \((0,−1)\) para o ponto \((1,−1)\).
Passo 4: Desenhe uma reta que passe pelos pontos:
Esta é uma imagem de um plano de coordenadas com os pontos \((0,2)\) e \((1,−1)\) representados graficamente nele. Há uma reta passando por ambos os pontos. - Trace a reta \(y=\dfrac{1}{2}x−3\) começando com a interseção em y e depois usando a inclinação. (
Observação: O gráfico que você criar pode ficar um pouco diferente dependendo do espaçamento escolhido para os eixos x e y. O gráfico correto ainda deve ter a mesma direção de inclinação com as mesmas interseções em X e em Y.
- Trace a reta \(y=−\dfrac{3}{5}x+1\) começando com a interseção em y e depois usando a inclinação. (
Observação: O gráfico que você criar pode ficar um pouco diferente dependendo do espaçamento escolhido para os eixos x e y. O gráfico correto ainda deve ter a mesma direção de inclinação com as mesmas interseções em X e em Y.
- Trace a reta \(y=2x+3\) começando com a interseção em y e depois usando a inclinação. (
Observação: Seu gráfico pode ficar um pouco diferente dependendo do espaçamento escolhido para os eixos x e y. Observe, neste gráfico, que as marcas de hash do eixo x estão mais distantes do que as marcas de hash do eixo y. Isto faz com que o gráfico fique artificialmente menos inclinado do que ficaria se as marcas de hash estivessem à mesma distância. No entanto, às vezes isso ajuda a ajustar melhor os dados no gráfico.
- Trace a reta \(y=−x−4\) começando com a interseção em y e depois usando a inclinação. (
Observação: Neste gráfico, o espaçamento das marcas de hash nos eixos x e y são quase idênticos.
Detalhes:
Para representar graficamente esta reta, você precisa identificar a inclinação e a interseção em y. A equação é escrita na forma inclinação-interseção, \(y=mx+b\), em que m é o declive e b é a interseção em y.
Passo 1: Encontre a inclinação e a interseção em y da reta:
A equação da reta é:
\({\text{y}}={{\color{Red} -\text{x}}}{\color{blue}{-}4}\)
Tenha em mente que \({\color{red}-}{\color{Red}{\text{x}}}\) é igual a \({\color{red}-1}{\color{Red}{\text{x}}}\), então uma equação equivalente é:
\({\text{y}}={\color{red}-1}{\text{x}}{\color{blue}{-}4}\)
Portanto, a inclinação é \({\color{red}-1}\), e a interseção em y é \({\color{blue}-4}\)
Passo 2: Represente graficamente a interseção em y:
Esta é uma imagem de um plano de coordenadas com o ponto \((0,−4)\) representado graficamente nele.
Passo 3: Encontre outro ponto na reta usando a inclinação:
A inclinação é \(−1\), que você pode reescrever como \(-\dfrac{1}{1}\). A inclinação é \(\dfrac{\text{elevação}}{\text{distância}}\), o que significa que, para encontrar outro ponto no gráfico, você começa na interseção em y e depois desce um espaço, depois anda um espaço para a direita:
Esta é uma imagem de um plano de coordenadas com os pontos \((0,−4)\) e \((1,−5)\) representados graficamente nele. Há uma seta apontando de \((−4,0)\) para \((−5,0)\) e uma seta apontando de \((−5,0)\) para \((1,-5)\)
Passo 4: Desenhe uma reta que passe pelos pontos:
Esta é uma imagem de um plano de coordenadas com os pontos \((0,−4)\) e \((1,−5)\) representados graficamente nele. Há uma reta passando por ambos os pontos. - Trace a reta \(y=\dfrac{4}{5}x+4\) começando com a interseção em y e depois usando a inclinação. (
