Introdução
Nesta lição, você representará graficamente (ou traçará) uma equação linear encontrando dois ou mais pontos na reta e depois conectando estes pontos por meio de uma reta. Para encontrar os pontos da reta, escolha qualquer valor para x e, em seguida, insira esse número na função para resolver a variável desconhecida y. Uma equação linear é simplesmente uma reta.
Esses vídeos ilustram o material da lição abaixo. Assistir aos vídeos é opcional.
- Traçar uma Reta a Partir da Equação Reduzida | Transcrição
- Representação Gráfica de Qualquer Equação Linear (Reta) | Transcrição
Traçar uma Reta a Partir da Equação Reduzida
As equações lineares que estão na forma de equação reduzida são escritas neste formato:
\begin{align*} y = mx + b\end{align*}
Exemplo 1
Trace uma reta usando a seguinte equação linear: \(y=\frac{1}{2}x+1\).
A Figura 1 mostra uma tabela de coordenadas para traçar esta reta. Os valores x estão à esquerda e os valores y estão à direita, pois é assim que eles serão ordenados em pares de coordenadas. São escolhidos quatro valores para x que serão fáceis de calcular \(x = -1, 0, 1, 5\). É necessário fazer apenas dois pontos, mas fazer mais ajudará você a verificar se há erros.
Figura 1
Resolva os valores de y. Comece substituindo -1 por \(x\).
\begin{align*} & y = \frac{1}{2}x + 1 &\color{navy}\small\text{Comece com a equação linear}\\\\ & y = \frac{1}{2} (-1) + 1 &\color{navy}\small\text{Substitua \(-1\) por \(x\)}\\\\ & y = \frac{-1}{2} + 1 &\color{navy}\small\text{Multiplique \(\frac{1}{2}\) por \(-1\), que dá \(\frac{-1}{2}\)}\\\\ & y = \frac{-1}{2} + \frac{2}{2} &\color{navy}\small\text{O denominador comum é \(2\)}\\\\ & y = \frac{1}{2}\\\\ & y = \frac{1}{2} &\color{navy}\small\text{Simplifique a fração} \end{align*}
Agora, substitua 0 por \(x\).
\begin{align*} & y = \frac{1}{2}x + 1 &\color{navy}\small\text{Comece com a equação linear}\\\\ & y = \frac{1}{2} (0) + 1 &\color{navy}\small\text{Substitua \(0\) por \(x\)}\\\\ & y = 0 + 1 &\color{navy}\small\text{Multiplique \(\frac{1}{2}\) por \(0\), que dá \(0\)}\\\\ & y = 1 &\color{navy}\small\text{Simplifique usando a adição} \end{align*}
Agora, substitua 1 por \(x\).
\begin{align*} & y = \frac{1}{2}x + 1 &\color{navy}\small\text{Comece com a equação linear}\\\\ & y = \frac{1}{2} (1) + 1 &\color{navy}\small\text{Substitua \(1\) por \(x\)}\\\\ & y = \frac{1}{2} + 1 &\color{navy}\small\text{Multiplique \(\frac{1}{2}\) por \(1\), que dá \(\frac{1}{2}\)}\\\\ & y = \frac{1}{2} + \frac{2}{2} &\color{navy}\small\text{O denominador comum é \(2\)}\\\\ & y = \frac{3}{2} &\color{navy}\small\text{Adição}\\\\& y = 1.5 &\color{navy}\small\text{Expresse como um decimal} \end{align*}
Por fim, substitua 5 por \(x\).
\begin{align*} & y = \frac{1}{2}x + 1 &\color{navy}\small\text{Comece com a equação linear}\\\\ & y = \frac{1}{2} (5) + 1 &\color{navy}\small\text{Substitua \(5\) por \(x\)}\\\\ & y = \frac{5}{2} + 1 &\color{navy}\small\text{Multiplique \(\frac{1}{2}\) por \(5\), que dá \(\frac{5}{2}\)}\\\\ & y = \frac{5}{2} + \frac{2}{2} &\color{navy}\small\text{O denominador comum é \(2\)}\\\\ & y = \frac{7}{2} &\color{navy}\small\text{Adição}\\\\ & y = 3.5 & \color{navy}\small\text{Expresse como decimal} \end{align*}
Com esses pontos (-1, 0.5), (0, 1), (1, 1.5) e (5, 3.5), você pode traçar a reta (representar a equação graficamente) desenhando uma reta que conecte os pontos.
Figura 2
Representação Gráfica de Qualquer Equação Linear (Reta)
Nem todas as equações vêm na forma de equação reduzida, mas você ainda pode representá-las graficamente. Você pode representar graficamente uma equação no formato padrão, em que todas as variáveis estão no mesmo lado da equação.
A forma padrão é escrita assim:
\begin{align*} Ax + By = c \end{align*}
Semelhante à primeira parte desta lição, você encontrará dois ou mais pontos para traçar e, em seguida, irá conectá-los para formar a reta.
Exemplo 2
Trace uma reta usando esta equação linear na forma padrão: \(2x+3y=10\).
Comece fazendo uma tabela. O valor x está à esquerda e o valor y está à direita. Em seguida, encontre valores que sejam fáceis de calcular. Neste exemplo, você verá coordenadas calculadas quando x é 0 e quando y é 0.
Figura 3
Resolva o valor de y. Substitua 0 por \(x\).
\begin{align*} & 2x+3y=10 &\color{navy}\small\text{Comece com a equação linear}\\\\ & 2(0)+3y=10 &\color{navy}\small\text{Substitua \(0\) por \(x\)}\\\\ & 0+3y=10 &\color{navy}\small\text{Multiplique \(2\) por \(0\), que dá \(0\)}\\\\ & 3y = 10 &\color{navy}\small\text{Simplifique o lado esquerdo}\\\\ & \frac{3}{\color{green} 3} y = \frac{10}{\color{green}3} &\color{navy}\small\text{Divida ambos os lados por \(3\)}\\\\ & \frac{\cancel 3}{\color{green}\cancel 3} y = \frac{10}{\color{green}3} &\color{navy}\small\text{Cancele os \(3\) no lado esquerdo}\\\\ & y = \frac{10}{3} &\color{navy}\small\text{O valor de y é isolado}\\\\ & y = 3.33 &\color{navy}\small\text{Expresse como um decimal} \end{align*}
Agora, resolva o valor de x quando y for 0.
\begin{align*} & 2x+3y=10 &\color{navy}\small\text{Comece com a equação linear}\\\\ & 2x+3(0)=10 &\color{navy}\small\text{Substitua \(0\) por \(y\)}\\\\ & 2x+0=10 &\color{navy}\small\text{Multiplique \(3\) por \(0\), que dá \(0\)}\\\\ & 2x = 10 &\color{navy}\small\text{Simplifique o lado esquerdo}\\\\ & \frac{2}{\color{green} 2} x = \frac{10}{\color{green}2} &\color{navy}\small\text{Divida ambos os lados por \(2\)}\\\\ & \frac{\cancel 2}{\color{green}\cancel 2} x = \frac{10}{\color{green}2} &\color{navy}\small\text{Cancele os \(2 \) no lado esquerdo}\\\\ & x = \frac{10}{2} &\color{navy}\small\text{O valor de x é isolado }\\\\ & x = 5 &\color{navy}\small\text{Simplifique o lado direito} \end{align*}
A Figura 4 mostra estes valores adicionados à tabela.
Figura 4
Com estes pontos (0, 3.33), (5, 0), você pode traçar a reta (representar a equação graficamente) desenhando uma reta que conecte os pontos.
Figura 5
Isto significa que qualquer ponto ao longo desta reta tornará esta equação correta. Por exemplo, parece que o ponto (2,2), em que x é 2 e y é 2, está nesta reta. Para descobrir se isso está correto, substitua o ponto (2,2) na equação para o valor de x e y e verifique se obtém 10.
\begin{align*} &2x + 3y = 10 &\color{navy}\small\text{Comece com a equação linear}\\\\ &2 (2) + 3 (2) = 10 &\color{navy}\small\text{Verifique se \((2, 2)\) é verdadeiro}\\\\ &4 + 6 = 10 &\color{navy}\small\text{Multiplique o lado esquerdo}\\\\ & 10 = 10 &\color{navy}\small\text{Some o lado esquerdo}\end{align*}
Como 10=10 é uma afirmação verdadeira, o ponto (2, 2) está na reta acima. Qualquer outro ponto nesta reta também resolverá esta equação e a tornará verdadeira
Figura 6
Lembre-se
- Para encontrar pontos na reta, escolha qualquer valor para x, depois substitua este número na função e resolva o y;
- Escolha valores para x que sejam fáceis de calcular para encontrar o valor de y;
- Trace pontos e desenhe uma reta através deles.
Exercícios de Prática
1. Combine a equação da reta com seu gráfico:
a. \({\text{y}}=4{\text{x}}-3\) (Detalhes:
A equação \(y={\color{Red}4}x−{\color{blue}3}\) é escrita na forma de equação reduzida, que é \(y = {\color{Red}m}x + {\color{blue}b}\), em que m é a inclinação e b é a interceptação em Y. Você precisa encontrar o gráfico que tem uma \({\color{Red}inclinação}\) de \({\color{Red}4}\) e uma \({\color{blue}interseção em y}\) de \({\color{blue}-3}\).
Primeiro, observe o Gráfico nº 1. Você vê que a interceptação em y é 3 e a inclinação é negativa. Não é o gráfico correto.
Depois, observe o Gráfico nº 2. Você vê que a interceptação em y é \(−3\) e a inclinação é positiva. A elevação é 4 e a distância é 1, então a inclinação é \(m=\dfrac{4}{1}\), que é igual a 4. Este é o gráfico correto.
Você também pode conferir o Gráfico nº 3. Você vê que a interceptação em y é 0 e a inclinação é positiva. A elevação é 1 e a distância é 3, então a inclinação é \(m=\dfrac{1}{3}\). Este não é o gráfico correto.
1. 
2. 
3. 
2. Crie um gráfico da reta representada pela equação:
\({\text{y}}=2{\text{x}}-5\) (Observação: Sua reta pode ficar diferente desta, mas a interceptação em x e a interceptação em y devem ser iguais.
3. Crie um gráfico da reta representada pela equação:
\({\text{y}}=\dfrac{-1}{2} {\text{x}}+2\) (Observação: Sua reta pode ficar diferente desta, mas a interceptação em x e a interceptação em y devem ser iguais.
4. Faça o gráfico da reta representada pela equação:
\(3{\text{x}}+4{\text{y}}=-12\) (Observação: Sua reta pode ficar diferente desta, mas a interceptação em x e a interceptação em y devem ser iguais
5. Faça o gráfico da reta representada pela equação:
\(\dfrac{1}{3}{\text{x}}{-}{\dfrac{1}{2}}{\text{y}}=5\) (Observação: Sua reta pode ficar diferente desta, mas a interceptação em x e a interceptação em y devem ser iguais
Detalhes:
Para representar a reta em um gráfico, \(\dfrac{1}{3}{\text{x}}{-}{\dfrac{1}{2}}{\text{y}}=5\), você precisa encontrar pelo menos dois pontos que estejam na reta. Comece com uma tabela de valores:
| x | y |
| - | - |
| - | - |
\({\dfrac{1}{3}(0)}{-}{\dfrac{1}{2}}{\text{y}}=5\)
Você sabe que \(\dfrac{1}{3}\times0=0\), então a equação agora é:
\(0-\dfrac{1}{2}{\text{y}}=5\)
O que é igual a:
\(-\dfrac{1}{2}{\text{y}}=5\)
Em seguida, multiplique ambos os lados por \(-\dfrac{2}{1}\) para cancelar o \(-\dfrac{1}{2}\) e resolva o y. Você também escreve 5 como \(\frac{5}{1}\) para facilitar a resolução:
\(\left(-\dfrac{2}{1}\right)\left(-\dfrac{1}{2}{\text{y}}\right)=\dfrac{5}{1}\left(-\dfrac{2}{1}\right)\)
No lado esquerdo, você multiplica \(\left(-\dfrac{2}{1}\right)\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)\), o que é igual a 1. Agora você tem:
\(1{\text{y}}=\dfrac{5}{1}\left(-\dfrac{2}{1}\right)\)
Para multiplicar \(\dfrac{5}{1}\times\left(-\dfrac{2}{1}\right)\), você faz a multiplicação cruzada, o que é igual a \(-\frac{10}{1}\).
\(1{\text{y}}= -\dfrac{10}{1}\)
O que pode ser simplificado para:
\(1{\text{y}}=-10\)
Então, o ponto \((0,−10)\) está na reta e você pode atualizar a tabela adequadamente.
| x | y |
| 0 | -10 |
| - | - |
\(\dfrac{1}{3}{\text{x}}{-}{\dfrac{1}{2}}\left(0\right)=5\)
O que é igual a:
\(\dfrac{1}{3}{\text{x}}{-}0=5\)
O que é igual a:
\(\frac{1}{3}{\text{x}}=5\)
Em seguida, multiplique ambos os lados por 3:
\((3)(\dfrac{1}{3}){\text{x}}=5(3)\)
O que resulta em:
\((\cancel{3})(\dfrac{1}{\cancel{3}}){\text{x}}=5(3)\)
e
\({\text{x}}=15\)
Agora, você tem um ponto adicional \((15,0)\).
| x | y | |||
|---|---|---|---|---|
| 0 | -10 | |||
| 15 | 0 |
Em seguida, desenhe uma reta através dos dois pontos:
6. Localize a interceptação em y para a reta:
\({\text{y}}=-3{\text{x}}+2\) (
Detalhes:
A equação desta reta é \(y=−3x+{\color{Red}2}\) e é escrita na forma de equação reduzida, que é \(y=mx + {\color{Red}b}\), em que m é a inclinação e \({\color{Red}b}\) é a \({\color{Red}interceptação em y}\). Portanto, a interceptação em y é (0,2).
7. Use as informações da pergunta anterior para responder a este problema:
Agora, escolha um valor x (além de \(x=0\)) e trace o ponto na reta \(y=−3x+2\) que corresponde a este valor. Em seguida, use esses dois pontos para representar a reta graficamente. (Observação: As respostas variam dependendo do valor de x que você escolher. Vários pontos possíveis são mostrados. Todos os pontos corretos estarão na reta, mas como ela é infinita, é impossível mostrar a reta inteira ou todos os pontos possíveis nela.
Detalhes:
Você quer representar graficamente esta reta e já tem a interceptação em Y, que é \((0, 2)\). Você precisa de mais um ponto para representar a reta graficamente. Para este exemplo, escolha \({\color{Red}x = 1}\) e encontre o valor y correspondente (você pode escolher qualquer valor para x. Este exemplo mostra a escolha de x = 1 por conveniência). A equação é:
\(y=−3{\color{Red}x}+2\)
Substitua x por \({\color{Red}1}\):
\(y=−3{\color{Red}(1)}+2\)
Depois, simplifique:
\(y=−{\color{Red}3}+2\)
Em seguida, some, o que lhe dá:
\(y=−1\)
Então, outro ponto na reta é \((1,−1)\). Agora você pode representar graficamente ambos os pontos:
Em seguida, desenhe uma reta através de ambos os pontos para representar a reta graficamente:
8. Localize a interceptação em y para a reta:
\({\text{y}} = \dfrac{1}{2}{\text{x}} - 3\) (
9. Use as informações da pergunta anterior para responder a este problema:
Agora, escolha um valor x (além de \(x=0\)) e trace o ponto na reta \({\text{y}} = \dfrac{1}{2}{\text{x}} - 3\) que corresponde a este valor. Em seguida, use esses dois pontos para representar a reta graficamente (Observação: As respostas variam dependendo do valor de x que você escolher. Vários pontos possíveis são mostrados. Todos os pontos corretos estarão na reta, mas como ela é infinita, é impossível mostrar a reta inteira ou todos os pontos possíveis nela.
10. Localize a interceptação em y para a reta:
\({\text{y}} = -\dfrac{3}{5}{\text{x}} + 1\) (
11. Use as informações da pergunta anterior para responder a este problema:
Agora, escolha um valor x (além de \(x=0\)) e trace o ponto na reta \({\text{y}} = -\dfrac{3}{5}{\text{x}} + 1\) que corresponde a este valor. Em seguida, use esses dois pontos para representar a reta graficamente. (Observação: As respostas variam dependendo do valor de x que você escolher. Vários pontos possíveis são mostrados. Todos os pontos corretos estarão na reta, mas como ela é infinita, é impossível mostrar a reta inteira ou todos os pontos possíveis nela.
