Introdução

Nesta lição, você aprenderá como encontrar a equação de uma reta usando dois pontos dados.

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• Como Encontrar a Equação de Uma Reta a Partir de Dois Pontos (7:13 minutos) | Transcrição

Como Encontrar a Equação de Uma Reta a Partir de Dois Pontos

Aqui estão dois pontos: \((-5, 13)\) e \((3, -3)\). Ambos os pontos estão na mesma reta (ver Figura 1). Para encontrar a equação desta reta, siga três passos:

Figura 1

Passo 1

Encontre a inclinação usando a fórmula da inclinação: \(m=\frac{y_{2-}y_{1}}{x_{2-}x_{1}}\)

\begin{align*} m&=\frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} &\color{red}\small\text{Fórmula da inclinação}\\\\ m&=\frac{13 - (-3)}{-5 - 3} &\color{red}\small\text{Substitua os valores de x e y}\\\\ m&=\frac{16}{-8}&\color{red}\small\text{Simplifique o numerador e o denominador}\\\\ m&=-2 &\color{red}\small\text{Simplifique a fração}\\\ \end{align*}

A inclinação é -2 para esta equação.

Figura 2

Passo 2

Use a inclinação e um dos pontos para resolver a interseção em y usando a forma inclinação-interseção: \(y=mx + b\). Não importa qual ponto você usa para encontrar a equação. Aqui, \((3, -3)\) é usado com \(m = -2\).

\begin{align*} y&=mx+b&\color{red}\small\text{Forma inclinação-interseção}\\\\ -3&=-2(3)+b&\color{red}\small\text{Substitua os valores de m, x e y}\\\\ -3&= -6 +b &\color{red}\small\text{Lado direito: multiplique -2 e 3}\\\\ -3 \color{red}\text{+6} &= -6 + b \color{red}\text{+6} &\color{red}\small\text{Some 6 em ambos os lados} \\\\ -3 \color{red}\text{+6} &= b &\color{red}\small\text{Lado direito: os 6 se cancelarão} \\\\ 3&= b &\color{red}\small\text{Lado esquerdo: subtraia 3 de 6} \end{align*}

A interseção em y, ou b, é igual a 3.

Passo 3 Depois de saber o valor de m e o valor de b, você pode substituí-los na forma inclinação-interseção para obter a equação da reta. A equação da reta pela qual ambos os pontos passam é \(y=-2x+3\).

Things to Remember

• A fórmula da inclinação é \(m=\frac{y_{2-}y_{1}}{x_{2-}x_{1}}\).

• Os passos para encontrar a equação de uma reta, quando dados dois pontos, são:

  1. Encontre a inclinação usando a fórmula da inclinação.
  2. Use a inclinação e um dos pontos fornecidos para resolver a interseção em y na forma inclinação-interseção de uma reta: \(y=mx + b\).
  3. Use a inclinação (m) e a interseção em y (b) para escrever a equação da reta usando a forma inclinação-interseção.
     

1. \(( -5,10 )\) e \(( -3,4 )\) (
   Solução

   x

   Solução: \({\text{y}}=-3{\text{x}}-5\)
   
   Detalhes:
   
   Passo 1: Encontre a inclinação usando a fórmula:
   
   \(\displaystyle{\text{Inclinação}}={\text{m}}=\frac{\text{elevação}}{\text{distância}}=\frac{{\text{y}}_2-{\text{y}}_1}{{\text{x}}_2-{\text{x}}_1}\)
   
   Você tem dois pontos, \(\left ( -5,10 \right )\) e \(\left ( -3,4 \right )\). Para este exemplo, escolha \(\left ({\color{Red} -5},{\color{Red} 10} \right )\) como o ponto um e \(\left ({\color{TealBlue} -3},{\color{TealBlue} 4} \right )\) como o ponto dois. (Não importa qual é o ponto um e qual é o ponto dois, desde que você seja consistente durante os cálculos.) Insira os pontos na fórmula da inclinação:
   
   \(\displaystyle\frac{{\text{y}}_2-{\text{y}}_1}{{\text{x}}_2-{\text{x}}_1}=\frac{{\color{TealBlue}4}-{\color{Red}10}}{{\color{TealBlue}-3}-({\color{Red}-5})}\)
   
   Simplifique:
   
   \(\dfrac{4-10}{-3-(-5)}=\dfrac{4-10}{-3+5}=\dfrac{-6}{2}=-3\)
   
   A inclinação da reta é \({\color{TealBlue} -3}\), então o m em \(y=mx+b\) é \({\color{TealBlue} -3}\).
   
   Passo 2: Use a inclinação e um dos pontos para encontrar o b da interseção em y:
   
   Não importa qual ponto você usa. Ambos fornecerão o mesmo valor de b, pois estão na mesma reta. Neste exemplo, escolha o ponto \(\left ( {\color{LimeGreen} -3},{\color{Red} 4} \right )\). Insira a inclinação, \({\color{TealBlue} -3}\), e o ponto em \(y=mx+b\) para obter a equação da reta:
   
   \({\color{Red} 4}={\color{TealBlue} -3}\left ( {\color{LimeGreen} -3} \right )+\text{b}\)
   
   Simplifique:
   
   \(4 = 9 + b\)
   
   Depois, subtraia 9 de ambos os lados:
   
   \(4 − 9 = 9 + b − 9\)
   
   \({\color{Red} -5}=\text{b}\)
   
   Passo 3: Insira a inclinação (m = \({\color{TealBlue} -3}\)) e a interseção em y (b = \({\color{Red} -5}\)) em \(y=mx+b\):
   
   \(\text{y}={\color{TealBlue} -3}{\text{x}}-{\color{Red} 5}\)
   )
2. \(( -5,-26 )\) e \(( -2,-8 )\) (
   Solução

   x

   Solução: \({\text{y}}=6{\text{x}}+4\)
   )
3. \(( -4,-22 )\) e \(( -6,-34 )\) (
   Solução

   x

   Solução: \({\text{y}}=6{\text{x}}+2\)
   
   Detalhes:
   
   Passo 1: Encontre a inclinação usando a fórmula:
   
   \(\displaystyle{\text{Inclinação}}={\text{m}}=\frac{\text{elevação}}{\text{distância}}=\frac{{\text{y}}_2-{\text{y}}_1}{{\text{x}}_2-{\text{x}}_1}\)
   
   Você tem dois pontos, \(\left ( -4,-22 \right )\) e \(\left ( -6,-34 \right )\). Neste exemplo, escolha \(\left ( {\color{TealBlue} -4},{\color{TealBlue} -22} \right )\) como o ponto um e \(\left ( {\color{Red} -6},{\color{Red} -34} \right )\) como o ponto dois. (Não importa qual é o ponto um e qual é o ponto dois, desde que você seja consistente durante os cálculos.) Insira os pontos na fórmula da inclinação:
   
   \(\displaystyle\frac{{\text{y}}_2-{\text{y}}_1}{{\text{x}}_2-{\text{x}}_1}=\frac{{\color{Red}-34}-({\color{TealBlue}-22})}{{\color{Red}-6}-({\color{TealBlue}-4})}\)
   
   Simplifique:
   
   \(\dfrac{-34-(-22)}{-6-(-4)}=\dfrac{-34+22}{-6+4}=\dfrac{-12}{-2}=6\)
   
   Então, a inclinação da reta é 6.
   
   Passo 2: Use a inclinação e um dos pontos para encontrar b.
   
   Não importa qual ponto você usa. Ambos fornecerão o mesmo valor de b, pois estão na mesma reta. Neste exemplo, escolha o ponto \(\left ({\color{LimeGreen} -4}, {\color{NavyBlue} -22} \right )\). Insira a inclinação, 6, e o ponto em \(y=mx+b\) para obter a equação da reta.
   
   \({\color{NavyBlue} -22}={\color{Maroon} 6}({\color{LimeGreen} -4})+\text{b}\)
   
   Simplifique:
   
   \(-22=-24+\text{b}\)
   
   Depois, some 24 em ambos os lados.
   
   \(-22{\color{Red} +24}=-24+\text{b}{\color{Red} +24}\)
   
   \(2 = b\)
   
   Passo 3: Substitua a inclinação \(m = 6\) e a interseção em y \(b = 2\) em \(y=mx+b\).
   
   \(y= 6x +2\)
   )
4. \(( 3,1 )\) e \(( -6,-2 )\) (
   Solução

   x

   Solução: \({\text{y}}=\dfrac{1}{3}{\text{x}}\)
   )
5. \(( 4,-6 )\) e \(( 6,3 )\) (
   Solução

   x

   Solução: \({\text{y}}=\dfrac{9}{2}{\text{x}}-24\)
   )
6. \(( 5,5 )\) e \(( 3,2 )\) (
   Solução

   x

   Solução: \(\text{y}=\dfrac{3}{2}{\text{x}}{-}{\dfrac{5}{2}}\)
   )