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Encontrar Denominadores Comuns
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Introdução

Nesta lição, você aprenderá como encontrar denominadores comuns. Encontrar um denominador comum é fundamental para a adição de frações.

Esses vídeos ilustram o material da lição abaixo. Assistir aos vídeos é opcional.

Encontrando Denominadores Comuns

Para a adição de frações, os denominadores devem ser os mesmos. Isto significa que cada parte do todo deve ser igual em tamanho.

Exemplo 1

Imagine que você tem dois círculos e cada um deles está dividido em um número diferente de partes. Um círculo é dividido em seis partes, enquanto o outro é dividido em quatro partes. Isto significa que, no primeiro círculo, uma parte é \(\frac{1}{6}\) do círculo. No segundo círculo, uma parte é \(\frac{1}{4}\) do círculo.

Se você retirar todas as partes de cada círculo, exceto uma, quantas partes sobrarão no total? Se quiser cortar as duas partes para que todas as restantes fiquem iguais, qual deve ser o tamanho dessas partes?

Two circles. The first circle is divided into 6 parts, with one part shaded gold, and is labeled one-sixth. The other circle is divided into 4 parts, with one part shaded grey, and is labeled one-fourth. 

Figura 1

Como você está usando frações, o denominador, ou a parte inferior da fração, dita o tamanho de cada parte. Se os denominadores das duas frações forem iguais, significa que cada parte dos círculos tem o mesmo tamanho. Para igualar as partes nos círculos acima, você precisará encontrar o mínimo múltiplo comum (MMC) de 6 e 4.

Quando você fatora 6 e 4, descobre que \(2\times3=6\) e \(2\times2=4\).

O mínimo múltiplo comum precisará ter pelo menos um 2 e um 3 para ser um múltiplo de 6 e precisará ter pelo menos dois 2 para ser um múltiplo de 4. \(2\times2\times3=12\), então o mínimo múltiplo comum é 12.

Outra maneira de determinar o mínimo múltiplo comum é listar os múltiplos de cada número e depois determinar qual é o MMC:

  • MMC de 6: 6, 12, 18, 24, …
  • MMC de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, …

O 12 é o mínimo múltiplo comum de 6 e 4.

O mínimo múltiplo comum entre os números do denominador é chamado de mínimo denominador comum. Neste exemplo, o mínimo denominador comum de \(\frac{1}{6}\) e \(\frac{1}{4}\) é 12. Se você quiser que cada parte dos círculos tenha o mesmo tamanho, precisa transformar cada parte em uma fração que tenha o 12 como denominador.

Neste exemplo, você precisa multiplicar \(\frac{1}{6}\) por 2, porque \(6\times2=12\), e \(\frac{1}{4}\) por 3, porque \(4\times3=12\):

\begin{align*} \frac{1 \times 2}{6 \times 2} = \frac{2}{12} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{3}{12} \end{align*}

Two circles. The first circle is divided into 12 parts, with two parts shaded gold, and is labeled one-sixth equals two-twelfths. The other circle is divided into 12 parts, with three parts shaded gray, and is labeled one-fourth equals three-twelfths. 

Figura 2

Observe que tanto o numerador quanto o denominador devem ser multiplicados nessas situações. Quando você divide os dois círculos em 12 partes, a fração \(\frac{1}{6}\) é convertida em \(\frac{2}{12}\) e \(\frac{1}{4}\) em \(\frac{3}{12}\).

Agora que ambas as frações têm denominadores iguais, elas são equivalentes. Frações equivalentes podem não estar em sua forma mais simples, mas como têm o mesmo denominador, podem ser somadas ou subtraídas juntas.

\begin{align*} \frac{1}{6}+ \frac{1}{4} = \frac{2}{12} + \frac{3}{12} = \frac{5}{12} \end{align*}

Observe que a fração \(\frac{5}{12}\) não pode ser reduzida, então esta é a resposta final.

Exemplo 2

Encontre o denominador comum de \(\frac{3}{5}\) e \(\frac{1}{3}\).

Comece encontrando o mínimo múltiplo comum. Como 3 e 5 são números primos, eles não podem ser decompostos por fatoração prima. Isto significa que o MMC precisará ser um múltiplo de 5 e 3.

  • MMC de 5: 5, 10, 15, 20, 25, …
  • MMC de 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, …

O número 15 é o mínimo múltiplo comum de 5 e 3, então ambas as frações precisam ser convertidas para ter 15 como denominador.

Agora que ambas as frações têm um denominador comum, subtraia estas frações:

\begin{align*} \frac{3}{5} - \frac{1}{5} = \frac{9}{15}-\frac{5}{15}=\frac{4}{15} \end{align*}

A fração \(\frac{4}{15}\) não pode ser reduzida além disso, então esta é a resposta final.

Somar Frações com Denominadores Diferentes

Uma polegada pode ser dividida em várias frações. Em uma fita métrica ou régua, uma polegada é normalmente dividida em metades, quartos, oitavos e dezesseis avos. É muito comum precisar somar frações com denominadores diferentes quando se trabalha com polegadas.

This image shows a one-inch segment of a measuring tape or ruler. The inch is divided into sections between the 1- and 2-inch markers, with each section labeled from left to right: one-sixteenth, one-eighth, three-sixteenths, one-fourth, five-sixteenths, three-eighths, seven-sixteenths, one-half, nine-sixteenths, five-eighths, eleven-sixteenths, three-fourths, thirteen-sixteenths, seven-eighths, and fifteen-sixteenths. 

Figura 3

Exemplo 3

Some \(\frac{1}{2}\) e \(\frac{1}{8}\).

Na reta numérica acima, observe que \(\frac{1}{2}\) é o mesmo que \(\frac{4}{8}\). Então, se você contar mais um \(\frac{1}{8}\), você obtém \(\frac{5}{8}\).

Para resolver este problema quando você não tem uma reta numérica, você precisa encontrar um denominador comum das duas frações.

\begin{align*}\frac{1}{8} &+ \frac{1}{2} & \color{navy}\small\text{Encontre um denominador comum}\\\frac{1}{8} &+ \frac{4}{8} & \color{navy}\small\text{O MDC é 8, converta frações}\\&\frac{5}{8} & \color{navy}\small\text{Some as frações}\\\end{align*}

Mais uma vez, você vê que \(\frac{1}{8} + \frac{4}{8} = \frac{5}{8}\).

Lembre-se

  • Para somar ou subtrair duas frações, elas devem ter o mesmo denominador.
  • O mínimo denominador comum é o mínimo múltiplo comum que duas frações podem compartilhar como denominador.
  • Para encontrar o novo numerador, multiplique o numerador existente pelo mesmo número multiplicado pelo seu denominador para obter o MMC.

Problemas Práticos

  1. Qual é o denominador comum que você usaria para somar as frações \(\dfrac{1}{4}\) e \(\dfrac{1}{3}\)? (
    Solução em Vídeo
    x
    Solução: 12
    Detalhes:

     | Transcrição)
  2. Qual é o denominador comum que você usaria para somar as frações \(\dfrac{1}{6}\) e \(\dfrac{1}{9}\)? (
    Solução
    x
    Solução:
    18
    )
  3. O que você obtém quando soma as frações \(\dfrac{1}{4}\) e \(\dfrac{1}{3}\)? (
    Solução
    x
    Solução:
    \(\displaystyle \frac{1}{4}+\frac{1}{3}=\frac{3}{12}+\frac{4}{12}=\frac{7}{12}\)
    )
  4. Some: \(\displaystyle \frac{1}{6}+\frac{1}{9}\). (
    Solução
    x
    Solução: \(\displaystyle \frac{1}{6}+\frac{1}{9}=\frac{3}{18}+\frac{2}{18}=\frac{5}{18}\)
    Detalhes:
    Você está somando \(\dfrac{1}{6}\) a \(\dfrac{1}{9}\). Você pode representar isso como \(\dfrac{1}{6}\) de um todo, adicionado a \(\dfrac{1}{9}\) de um todo:
    Two pie charts. The first has one sixth shaded, the second has one ninth shaded, illustrating one-sixth plus one-ninth. 

    Passo 1: Encontre o mínimo denominador comum.
    Existem duas maneiras de encontrar o denominador comum: fazer a contagem de saltos usando múltiplos ou a fatoração de cada denominador. Para este exemplo, use múltiplos:

    Múltiplos de 6: \(6, 12, {\color{red}18}, 24, etc.\)

    Múltiplos de 9: \(9, {\color{red}18}, 27, etc.\)

    O menor número que 6 e 9 dividem uniformemente é \(\color{red}18\).

    Passo 2: Escreva ambas as frações como uma fração equivalente com denominador 18.
    Comece com \(\dfrac{1}{6}\).
    \(6 \times {\color{red}3} = 18\).

    Multiplique o numerador e o denominador de \(\dfrac{1}{6}\) por 3:
    \(\displaystyle \dfrac{1\times\color{RED}3}{6\times\color{RED}3}=\dfrac{3}{18}\)

    Faça a mesma coisa para \(\dfrac{1}{9}\):
    \(9 \times {\color{red}2} = 18\)

    Multiplique o numerador e o denominador por 2:
    \(\dfrac{1\times\color{RED}2}{9\times\color{RED}2}=\dfrac{2}{18}\)
    Two pie charts. The first has three eighteenths shaded, the second has two eighteenths shaded, illustrating 1 times 3 over 6 times 3, plus 1 times 2 over 9 times 2. 

    O resultado é \(\displaystyle \dfrac{3}{18}+\dfrac{2}{18}\):
    Two pie charts. The first has three eighteenths shaded, the second has two eighteenths shaded, illustrating 3 eighteenths plus 2 eighteenths. 

    Observe que ambos os círculos agora têm 18 partes. \(\dfrac{1}{6}\) é a mesma quantidade que \(\dfrac{3}{18}\), e \(\dfrac{1}{9}\) é a mesma quantidade que \(\dfrac{2}{18}\).

    Passo 3: Some as frações:
    \(\displaystyle \dfrac{3}{18}+\dfrac{2}{18}=\frac{5}{18}\)
    Three pie charts. The first has three eighteenths shaded, the second has two eighteenths shaded, the third has five eighteenths shaded, illustrating 3 eighteenths plus 2 eighteenths equals five eighteenths. 
    )
  5. Subtraia: \(\displaystyle \frac{1}{6}-\frac{1}{9}\). (
    Solução
    x
    Solução: \(\displaystyle \frac{1}{6}-\frac{1}{9}=\frac{3}{18}-\frac{2}{18}=\frac{1}{18}\)

    Detalhes:
    Você está subtraindo \(\dfrac{1}{9}\) de \(\dfrac{1}{6}\). Você pode representar isso como \(\dfrac{1}{6}\) de um todo, menos \(\dfrac{1}{9}\) de um todo:
    Two pie charts. The first has 1 sixth shaded, the second has 1 ninth shaded, illustrating 1 sixth minus 1 ninth. 

    Passo 1: Encontre o mínimo denominador comum.

    Existem duas maneiras de encontrar o mínimo denominador comum: fazer a contagem de saltos usando múltiplos ou a fatoração de cada denominador. Para este exemplo, use múltiplos.

    Múltiplos de 6: \(6, 12, {\color{red}18}, 24, etc.\)
    Múltiplos de 9: \(9, {\color{red}18}, 27, etc.\)

    O menor número que 6 e 9 dividem uniformemente é \(\color{red}18\).

    Passo 2: Escreva ambas as frações como uma fração equivalente com denominador 18.

    Comece com \(\dfrac{1}{6}\). \(6 \times 3 = 18\), então multiplique o numerador e o denominador de \(\dfrac{1}{6}\) por 3:
    \(\displaystyle \frac{1\times\color{RED}3}{6\times\color{RED}3}=\frac{3}{18}\)

    Faça a mesma coisa para \(\dfrac{1}{9}\). \(9 \times {\color{red} 2} = 18\), então multiplique o numerador e o denominador por 2:
    \(\displaystyle \frac{1\times\color{RED}2}{9\times\color{RED}2}=\frac{2}{18}\)
    Two pie charts. The first has 3 eighteenths shaded, the second has 2 eighteenths shaded, illustrating 1 times 3 over 6 times 3, minus 1 times 2 over 9 times 2. 

    O resultado será o seguinte:
    Two pie charts. The first has 3 eighteenths shaded, the second has 2 eighteenths shaded, illustrating 3 eighteenths minus 2 eighteenths. 

    Observe que ambos os círculos agora têm 18 partes. \(\dfrac{1}{6}\) é a mesma quantidade que \(\dfrac{3}{18}\), e \(\dfrac{1}{9}\) é a mesma quantidade que \(\dfrac{2}{18}\).

    Passo 3: Subtraia as frações.

    Você está subtraindo \(\dfrac{2}{18}\) de \(\dfrac{3}{18}\):

    A pie chart. It has three eighteenths shaded, with two of those eighteenths being removed from the pie chart, illustrating 3 eighteenths minus 2 eighteenths. 

    O resultado é \(\displaystyle \frac{3}{18}-\frac{2}{18}=\frac{1}{18}\):
    Three pie charts. The first has three eighteenths shaded, the second has 2 eighteenths shaded, the third has one eighteenth shaded, illustrating 3 eighteenths minus 2 eighteenths equals 1 eighteenth. 
    )
  6. Subtraia: \(\displaystyle \frac{1}{4}-\frac{5}{8}\). (
    Solução em Vídeo
    x
    Solução: \(\displaystyle \frac{1}{4}-\frac{5}{8}=\frac{2}{8}-\frac{5}{8}=-\frac{3}{8}\)

    Detalhes:

     | Transcrição)
Mínimo Múltiplo Comum
Conversão Entre Frações Impróprias e Números Mistos