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Mínimo Múltiplo Comum
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Introdução

Nesta lição, você aprenderá como encontrar o Mínimo Múltiplo Comum (MMC). Para somar e subtrair frações, o denominador tem que ser o mesmo. Para obter um denominador comum, primeiro você precisa encontrar o MMC.

O MMC de dois ou mais números é o menor número que pode ser dividido igualmente entre todos os números.

Este vídeo ilustra o material da lição abaixo. Assistir ao vídeo é opcional.

Mínimo Múltiplo Comum (MMC)

O MMC é usado ao somar e subtrair frações com denominadores diferentes. Quando dois números são dados, o MMC é um múltiplo que ambos os números compartilham. Duas maneiras de se encontrar o MMC são listar os múltiplos e listar a fatoração prima.

Liste os Múltiplos para Encontrar o MMC

Exemplo 1

Encontre o mínimo múltiplo comum de 3 e 5. Comece listando os múltiplos de cada número:

  • Múltiplos de 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, …
  • Múltiplos de 5: 5, 10, 15, 20, 25, …

O MMC é o menor múltiplo que ambos os números têm em comum. Ao listar os múltiplos de cada número, você identificou que tanto 3 quanto 5 têm um múltiplo comum de 15. Não há múltiplos comuns menores que 15. Portanto, 15 é o MMC de 3 e 5.

Exemplo 2

Encontre o MMC de 2 e 3.

  • Múltiplos de 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …
  • Múltiplos de 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, …

Ambos os números compartilham o múltiplo comum de 6 e também de 12. Como 6 é menor que 12, 6 é o mínimo múltiplo comum. Quando houver mais de um múltiplo comum, escolha sempre o menor múltiplo comum.

Exemplo 3

Encontre o MMC de 6 e 8.

  • Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, …
  • Múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, …

Ao listar os múltiplos de cada número, você pode identificar o MMC de 6 e 8 como 24.

Liste a Fatoração Prima para Encontrar o MMC

Outra maneira de encontrar o mínimo múltiplo comum de dois números é encontrar sua fatoração prima e, depois, comparar a fatoração prima de ambos os números.

Exemplo 4

Encontre o MMC de 14 e 21 listando todas as fatorações primas:

  • Fatores primos de 14: \(2\times 7\)
  • Fatores primos de 21: \(3\times 7\)

O MMC consistirá dos fatores primos listados acima.

  1. Comece com os fatores primos do primeiro número (14): \(2\times 7\).
  2. Inclua os fatores primos do segundo número (21) que não foram incluídos no primeiro número: \(2\times 7\times 3\). Observação: Como o 7 foi incluído como um fator de 14, você não o utiliza novamente.
  3. O MMC de 14 e 21 é \(2\times7 \times 3 =42\).

Isto significa que 42 é o menor múltiplo comum de 7 e 14.

Exemplo 5

Encontre o MMC de 6 e 8 listando todas as fatorações primas:

  • Fatores primos de 6: \(2 \times3\)
  • Fatores primos de 8: \(2\times 4 = 2 \times2 \times 2\)

Para encontrar o MMC usando fatoração prima:

  1. Comece com os fatores primos do primeiro número (6): \(2 \times 3\).
  2. 2. Inclua os fatores primos do segundo número (8) que não foram incluídos no primeiro número: \(2 \times 3 \times 2 \times 2\). A expressão tem todos os fatores primos de 6 e também todos os fatores primos de 8. Observação: Como você já incluiu um 2, você só precisa de mais dois 2 dos fatores de 8.
  3. O MMC de 6 e 8 é \(2 \times 3 \times 2 \times 2 =24\).

Encontrar o MMC usando a fatoração prima dará o mesmo resultado que listar os múltiplos de cada número. O número 24 é o mínimo múltiplo comum de 6 e 8, seja ele encontrado listando a fatoração prima ou listando os múltiplos.

Lembre-se

Existem 2 formas diferentes de encontrar o MMC dos números:

  1. Listar Múltiplos

    • Liste os múltiplos de cada um dos números fornecidos e encontre o menor número que aparece em ambas as listas.

  2. Fatoração Prima

    • Encontre todos os fatores primos de cada número fornecido.
    • Compare os fatores primos e cancele quaisquer múltiplos que sejam compartilhados.

    • Multiplique os fatores primos restantes para encontrar o MMC.

      • Exemplo: \(9 = 3 \times 3\) e \(15 = 3 \times 5\) e, já que 9 tem dois 3 e 15 tem apenas um 3 em sua fatoração, apenas um dos 3 precisa ser cancelado. O MMC de 9 e 15 é \( 3 \times 3 \times 5 = 45\).

Problemas Práticos

Encontre o mínimo múltiplo comum dos seguintes pares:
  1. 5 e 6 (
    Solução
    x
    Solução: 30
    Detalhes:
    Para encontrar o mínimo múltiplo comum (MMC), comece encontrando os fatores primos de 5 e 6.

    Como o 5 é um número primo, a fatoração prima de 5 é apenas ele mesmo.
    Image with a 6 at the top and two lines pointing down and outward to a 2 on the bottom left and a 3 on the bottom right.
    Como o 2 e o 3 são números primos, você pode escrever a fatoração prima de 6 como \(2 \times 3\).

    Você tem o seguinte:
    \(5 = 5\)
    \(6 = 2 \times 3\)

    O MMC precisará ter os fatores primos de 5 e 6, então precisa incluir 2, 3 e 5.

    images img-1-8-1-3 (PT) (size) .svg.png

    \(LCM = 2 \times 3 \times 5 = 30\)
    )
  2. 4 e 12 (
    Solução
    x
    Solução: 12
    Detalhes:
    Para encontrar o mínimo múltiplo comum (MMC), comece encontrando os fatores primos de 4 e 12.

    Image with 4 on top and two lines pointing down and outward to a 2 on the bottom left and a 2 on the bottom right.
    Como o 2 é um número primo, você pode escrever a fatoração prima de 4 como \(2 \times 2\).

    Image with 12 on top and two lines pointing down and outward to a 3 on the bottom left and a 4 on the bottom right. Under the 4 are two more lines pointing down and outward to a 2 on the bottom left and a 2 on the bottom right
    Como o 2 e o 3 são números primos, você pode escrever a fatoração prima de 12 como \(2 \times 2 \times 3\).

    Você tem o seguinte:
    \(4 = 2 \times 2\)
    \(12 = 2 \times 2 \times 3\)

    O MMC precisará ter os fatores primos de 4 e 12. Como a fatoração prima de 4 é \(2 \times 2\) e a fatoração prima de 12 tem \(2 \times 2\), você só precisará incluir \(2 \times 2\) uma vez.




    \(LCM = 2 \times 2 \times 3 = 12\)
    )
  3. 6 e 10 (
    Solução em Vídeo
    x
    Solução: 30




    Detalhes:
    Para encontrar o mínimo múltiplo comum (MMC), comece encontrando os fatores primos de 6 e 10.

    Image with a 6 at the top and two lines pointing down and outward to a 2 on the bottom left and a 3 on the bottom right.
    Como o 2 e o 3 são números primos, você pode escrever a fatoração prima de 6 como \(2 \times 3\).

    Image with a 10 at the top and two lines pointing down and outward to a 2 on the bottom left and a 5 on the bottom right.
    Como o 2 e o 5 são números primos, você pode escrever a fatoração prima de 10 como \(2 \times 5\).

    Você tem o seguinte:
    \(6 = 2 \times 3\)
    \(10 = 2 \times 5\)

    O MMC precisará ter os fatores primos de 6 e 10. Como a fatoração prima de 6 e 10 inclui um 2, você só precisará incluir o número 2 uma vez.

    The image is an equation written as such: LCM equals 3 times 2 times 5, equals 30. Above the 3 times 2, there is a bracket encompassing 3 and 2, and pointing to the number 6. Below the 2 times 5, there is a bracket that points to a 10.

    \(LCM = 2 \times 3 \times 5 = 30\)
     | Transcrição)
  4. 4 e 14 (
    Solução
    x
    Solução: 28
    Detalhes:
    Para encontrar o mínimo múltiplo comum (MMC), comece encontrando os fatores primos de 4 e 14.

    Image with 4 on top and two lines pointing down and outward to a 2 on the bottom left and a 2 on the bottom right.
    Como o 2 é um número primo, você pode escrever a fatoração prima de 4 como \(2 \times 2\).

    Image with 14 on top and two lines pointing down and outward to a 2 on the bottom left and a 7 on the bottom right.
    Como o 2 e o 7 são números primos, você pode escrever a fatoração prima de 14 como \(2 \times 7\).

    Você tem o seguinte:
    \(4 = 2 \times 2\)
    \(14 = 2 \times 7\)

    O MMC precisará ter os fatores primos de 4 e 14. Como a fatoração prima de 4 é \(2 \times 2\), ao incluir os fatores primos de 14, você já tem pelo menos um número 2, então não precisa incluir outro 2.



    \(MMC = 2 \times 2 \times 7 = 28\)
    )
  5. 7 e 9 (
    Solução em Vídeo
    x
    Solução: 63




    Detalhes:
    Para encontrar o mínimo múltiplo comum (MMC), comece encontrando os fatores primos de 7 e 9.

    Como o 7 é um número primo, a fatoração prima de 7 é apenas ele mesmo.

    Image with 9 on top and two lines pointing down and outward to a 3 on the bottom left and a 3 on the bottom right.
    Como o 3 é um número primo, você pode escrever a fatoração prima de 9 como \(3 \times 3\).

    Você tem o seguinte:
    \(7 = 7\)
    \(9 = 3 \times 3\)

    O MMC precisará ter os fatores primos 7 e 9, então você incluirá 7 e \(3 \times 3\).

    The image is an equation written as such: LCM equals 7 times 3 times 3, equals 63. Above the 7, there is a bracket encompassing 7 and pointing to a number 7. Below the 3 times 3, there is a bracket encompassing the 3 and 3, that points to a number 9.

    \(LCM = 7 × 3 × 3 = 63\)
     | Transcrição)
  6. 7 e 5 (
    Solução
    x
    Solução: 35
    Detalhes:
    Para encontrar o mínimo múltiplo comum (MMC), comece encontrando os fatores primos de 7 e 5. Como 7 e 5 são números primos, a fatoração prima de cada um é apenas ele mesmo.

    Você tem o seguinte:
    \(5 = 5\)
    \(7 = 7\)

    O MMC precisará ter os fatores primos 7 e 5, então você incluirá 7 e 5.


    \(MMC = 7 \times 5 = 35\)
    )