Nesta lição, você aprenderá algumas regras dos expoentes e como aplicá-las em conjunto.
Esses vídeos ilustram o material da lição abaixo. Assistir aos vídeos é opcional.
- Regras dos Expoentes - Regra do Produto | Transcrição
- Regras dos Expoentes: Divisão com Expoentes | Transcrição
- Regras dos Expoentes: Expoentes Negativos | Transcrição
- Regras dos Expoentes: Regra das Potências | Transcrição
- Regras dos Expoentes: Expoentes de 0 e 1 | Transcrição
- Regras dos Expoentes: Aplicação Conjunta | Transcrição
Vocabulário das Regras dos Expoentes
Revise estas palavras do vocabulário da Matemática para te ajudar a entender melhor esta lição:
- Base: o número ou a variável que multiplicado(a) por si próprio(a).
- Potência: o número do expoente, ou seja, quantas vezes a base é multiplicada por si mesma.
- Produto: a resposta quando você multiplica um número/variável por outro número/variável.
- Quociente: a resposta quando você divide um número/variável por outro número/variável.
Ao trabalhar com expoentes, aprender quais regras aplicar para resolver ou simplificar expoentes pode te ajudar.
A Regra do Produto dos Expoentes
A regra do produto afirma que se as bases forem iguais, você pode somar os expoentes. Observe que a qualificação para a regra do produto é que as bases devem ser iguais; caso contrário, você não poderá somar os expoentes.
\begin{align*}\color{black}\large\text{Regra do Produto dos Expoentes:} \;\frac{a^x} {a^y} =a^{x - y}\\\end{align*}
Lembre-se de que você pode multiplicar em qualquer ordem, então \( (a)(b) = (b)(a) \). Isso significa que, se houver várias bases, você pode reorganizar a ordem e somar os expoentes de qualquer uma das bases que forem iguais.
Exemplo 1
Simplifique \( x^{3}x^{4}\).
Este exemplo envolve variáveis, mas é calculado da mesma maneira que antes.
\begin{align*} &x^{3}x^{4}&\color{navy}\small\text{Simplifique esta expressão}\\\\&x^{3 + 4}&\color{navy}\small\text{Regra do produto dos expoentes}\\\\&x^7 &\color{navy}\small\text{Some os expoentes com bases comuns}\\\\ \end{align*}
A Regra do Quociente de Expoentes
A regra do quociente afirma que, ao dividir termos com a mesma base, você pode subtrair os expoentes.
Lembre-se, \( x^{4}\div x^{3}\) também pode ser escrito como \(\frac{x^4}{x^3}\). Usando a regra do quociente de expoentes, que é o mesmo que \(x^{4-3}\), que é igual a \(x^1\), ou \(x\).
\begin{align*}\color{black}\large\text{Regra do Quociente dos Expoentes:} \;\frac{a^x} {a^y} =a^{x - y}\\\end{align*}
Exemplo 2
\(\frac{m^{6}}{m^{2}}\)
\begin{align*}&\frac{m^{6}}{m^{2}} &\color{navy}\small\text{Simplifique esta expressão}\\\\&m^{6-2} &\color{navy}\small\text{Regra do quociente dos expoentes}\\\\&m^{4} &\color{navy}\small\text{Subtraia os expoentes}\\\\ \end{align*}
Expoentes Negativos
Ao usar a regra do quociente de expoentes, às vezes, você terá um expoente negativo em sua resposta. \(\frac{a^{2}}{a^{5}}=a^{(2-5)}=a^{-3}\). O que isso significa? O que significa a elevado à potência de -3? Fazer esse cálculo manualmente fica assim:
\begin{align*}\frac{a^{2}}{a^{5}}=\frac{\color{green} \cancel a \cdot \color{green} \cancel a}{ {\color{green} \cancel a \cdot \cancel a }\cdot a\cdot a \cdot a} = \frac{1}{a^{3}}\end{align*}
Em outras palavras, \(\frac{1}{a^{3}}\) é a resposta simplificada na qual não há expoente negativo.
Então, qualquer base elevada a um expoente negativo é na verdade igual a 1 sobre esse número elevado ao expoente positivo, mas no denominador: \(a^{-3} = \frac{1}{a^3}\).
Isso também é verdade quando uma base tem um expoente negativo no denominador. Neste caso, a base é elevada ao expoente positivo e movida para o numerador, tendo 1 como denominador.
\begin{align*}\large\text{Regra dos Expoentes Negativos: } {x}^{-a} = \frac{1}{x^a} \\\\ \frac{1}{x^{-a}} = \frac{x^a}{1} \end{align*}
Exemplo 3
\(\frac{x^2}{x^4}\)
\begin{align*} &\frac{x^2}{x^4} &\color{navy}\small\text{Simplifique esta expressão}\\\\ &x^{(2-4)} &\color{navy}\small\text{Regra do quociente dos expoentes}\\\\ &x^{-2} &\color{navy}\small\text{Subtraia os expoentes}\\\\ &\frac{1}{x^2} &\color{navy}\small\text{Regra do expoente negativo} \end{align*}
A expressão \(x^{-2}\) também pode ser expressa como \(\frac{1}{x^{2}}\).
A Regra da Potência dos Expoentes
The power rule of exponents states that when you have an exponential expression, or in other words, a base raised to a power, and then that whole exponential expression is raised to another power, it is equal to the base raised to both powers multiplied together.
\begin{align*}\large\text{Regra da Potência dos Expoentes}(a^b)^c = {a}^{b\times c} = {a}^{bc} \end{align*}
Exemplo 4
\(({3}^{4})^{2}\)
\begin{align*} & ({3}^{4})^{2}&\color{navy}\small\text{Simplifique esta expressão}\\\\ & {3}^{4\times2} &\color{navy}\small\text{Regra da potência dos expoentes}\\\\ & {3}^{8} &\color{navy}\small\text{Multiplique os expoentes} \end{align*}
Expoentes de 1
Any base, like \(a\), raised to the power of 1, \(a^1\), is just equal to itself, a. So \(a^{1}=a\).
Exemplo 5
\begin{align*} \frac{a^4}{a^3} = a^{4-3} = a^{1}\end{align*}
Como \(a^{1}=a\), a resposta é a.
Outra maneira de simplificar a expressão \(\large\frac{a^4}{a^3}\) é cancelando bases semelhantes do numerador e do denominador desta forma:
\begin{align*} \large\frac{a^{4}}{a^{3}} = \frac{{\color{green}\cancel a \color{green} \cdot \cancel a\cdot \color{green}\cancel a}\cdot a}{\color{green}\cancel a\cdot \cancel a\cdot \cancel a} = a \end{align*}
Então, novamente, a resposta é \(a^{1}\), ou a. Qualquer coisa elevada à potência um é apenas ela mesma.
Expoentes of 0
Qualquer base, como \(a\), elevada à potência de 0, \(a^0\), é igual a 1. Então, \(a^{0}=1\).
Exemplo 6
\begin{align*} \frac{a^{2}}{a^{2}}=a^{2-2}=a^{0}\end{align*}
Para entender o que isso significa, simplifique a mesma expressão cancelando as bases comuns.
\begin{align*} \frac{a^{2}}{a^{2}} = \frac{\color{green}\cancel a\cdot \cancel a}{\color{green}\cancel a\cdot \cancel a} = 1\cdot 1 = 1 \end{align*}
\(\frac{a^{2}}{a^{2}}=a^{0} =1\). This is true for any value for \(a\), except for zero, \(0^{0}\neq1\). Base 0, to the power of 0 is undefined.
Aplicação Conjunta de Expoentes
Em alguns dos exercícios que você fará, haverá vários passos para simplificar a expressão e, talvez, você precise usar várias regras em conjunto para simplificar as expressões.
Exemplo 7
Este exemplo tem diversas variáveis diferentes. Todas as variáveis nesta expressão estão sendo multiplicadas, e todas estão sendo elevadas a um expoente.
\begin{align*} (m^2x^3ymx)^2 \end{align*}
Use a ordem das operações e o que você sabe sobre expoentes para simplificar este problema.
Primeiro, de acordo com a ordem das operações, você precisa observar o que está dentro dos parênteses. Depois de simplificar as variáveis dentro dos parênteses o máximo possível, você pode prosseguir.
A primeira coisa que você deve observar é que, dentro dos parênteses, há termos com a mesma base sendo multiplicados entre si. Você tem \(m^2\) e \(m^1\), assim como \(x^3\) e \(x^1\).
De acordo com a regra do produto, você deve somar os expoentes de termos semelhantes.
\begin{align*}&(m^2x^3ymx)^2 &\color{navy}\text{Simplifique os parênteses primeiro}\\\\ &(m^2x^3y^1m^1x^1)^2 &\color{navy}\text{Observação: Variáveis à potência de 1}\\\\ &(m^2m^1x^3x^1y^1)^2 &\color{navy}\text{Reorganize as bases semelhantes para deixá-las juntas}\\\\ &(m^{(2+1)}x^{(3+1)}y^1)^2 &\color{navy}\text{Regra do produto dos expoentes}\\\\ &(m^3x^4y)^2 &\color{navy}\text{Some os expoentes com bases comuns}\\\\&m^{3\cdot2}x^{4 \cdot 2}y^{1 \cdot 2} &\color{navy}\text{Regra da potência dos expoentes}\\\\&m^{6}x^{8}y^{2} &\color{navy}\text{Multiplique os expoentes e simplifique}\\\end{align*}
Seguindo a ordem das operações e as regras dos expoentes, você conseguiu simplificar esta equação para \(m^6x^8y^2\)
Exemplo 8
\( \frac{x^{2}m^{3}x^{3}}{m^{2}x^{7}} \)
Esta equação tem duas variáveis diferentes, ou termos com bases diferentes: \(x\) e \(m\).
\begin{align*}&\frac{x^{2}m^{3}x^{3}}{m^{2}x^{7}} &\color\navy\small\text{Simplifique esta expressão}\\\\&\frac{m^{3}x^{2}x^{3}}{m^{2}x^{7}} &\color\navy\small\text{Reorganize as bases semelhantes}\\\\ &\frac{m^{3}x^{(2+3)}}{m^{2}x^{7}} &\color\navy\small\text{Regra do produto dos expoentes}\\\\ &\frac{m^{3}x^{5}}{m^{2}x^{7}} &\color\navy\small\text{Some os expoentes}\\\\ &m^{(3-2)}x^{(5-7)} &\color\navy\small\text{Regra do quociente dos expoentes}\\\\ &mx^{-2} &\color\navy\small\text{Subtraia os expoentes}\\\\&m\frac{1}{x^2} &\color\navy\small\text{Regra do expoente negativo}\\\\&\frac{m}{x^2} &\color\navy\small\text{Simplifique}\\\end{align*}
Lembre-se, \(m^1=m=\frac{m}{1}\). A resposta final é \( \frac{m}{x^2}\).
Lembre-se
- A Ordem das Operações é PEMDAS.
- Regra do Produto: Ao multiplicar dois expoentes cujas bases são iguais, some as potências.
\begin{align*}x^a x^b = x^{a+b}\end{align*}
- Regra do Quociente: Ao dividir os expoentes cujas bases são iguais, subtraia as potências.
\begin{align*}\frac{a^x} {a^y} =a^{x - y}\end{align*}
- Regra do Expoente Negativo: Quando um expoente tem uma potência negativa, mova-o para a outra parte da fração (numerador ou denominador) e a potência se torna positiva.
\begin{align*}x^{-a} = \frac{1}{x^a}\end{align*}
- Regra das Potências: Quando um expoente estiver vinculado à parte externa dos parênteses, multiplique as potências..
\begin{align*}(x^a)^b = x^{(a)(b)}\end{align*}
- Expoentes de 0 e 1: Qualquer coisa elevada à potência de 0 é 1, qualquer coisa elevada à potência de 1 é essa mesma coisa.
\begin{align*}a^{0}=1\\a^1=a\end{align*}
Problemas Práticos
- \({\text{a}}^{5}\,{\text{b}}^{3}( {\text{a}}\,{\text{b}} )^{4}\,{\text{b}} =\) (
Detalhes:
Neste exemplo, a primeira coisa que você precisa fazer é olhar para a parte \(\left ({\text{a}}{\text{b}} \right )^{4}\).
\(\left ({\text{a}}{\text{b}} \right )^{4}\) é a mesma coisa que \(\text{ab}\) multiplicado 4 vezes.
Isso é o mesmo que a variável “a” multiplicada 4 vezes e a variável “b” multiplicada 4 vezes.
Portanto, a parte \(\left ({\text{a}}{\text{b}} \right )^{4}\) é a mesma coisa que \({\text{a}}^{4}\,{\text{b}}^{4}\), e você pode substituí-la de volta na expressão original.
gora você pode somar os expoentes de fatores com a mesma base. Lembre-se de que qualquer coisa que não tenha um expoente, na verdade, tem um expoente invisível de 1. Então a variável b no final tem um expoente de 1, e você precisa incluí-la na solução.
\({\text{a}}^{5}\) e \({\text{a}}^{4}\) tornam-se \({\text{a}}^{\left ( 5+4 \right )}={\text{a}}^{9}\)
\({\text{b}}^{3}\), \({\text{b}}^{4}\) e \({\text{b}}\) tornam-se \({\text{b}}^{\left ( 3+4+1 \right )}={\text{b}}^{8}\)
A solução final é: \({\text{a}}^{9}\,{\text{b}}^{8}\). - \({\text{x}}\,{\text{y}}^{3}{\text{x}}\,{\text{y}} =\) (
- \(\dfrac{{\text{x}}^{5}\,{\text{y}}^{3}\,{\text{x}}^{2}}{{\text{x}}^{6}{\text{y}}^{2}}=\) (
- \(\dfrac{{\text{m}}^{3}\,{\text{x}}^{7}}{{\text{m}}^{3}{\text{x}}^{2}}=\) (
Detalhes:
Neste caso, você está usando a regra do quociente em ambas as variáveis m e x.
\(\dfrac{{\color{green} {\text{m}}}^{3}\,{\color{green} {\text{x}}}^{7}}{{\color{green} {\text{m}}}^{3}{\color{green} {\text{x}}}^{2}}\)
Primeiro, observe a regra do quociente para as variáveis “m”.
\(\dfrac{{\text{m}}^{3}}{{\text{m}}^{3}} = {\text{m}}^{\left ( 3-3 \right )} = {\text{m}}^{0} = 1\)
Observação: O ponto entre os termos na equação significa multiplicação.
Como \({\text{m}}^{\left ( 3-3 \right )} = {\text{m}}^{0} = 1\) e 1 multiplicado por qualquer coisa é ele mesmo, você fica apenas com as variáveis “x”.
\(\displaystyle{\color{green} {\text{m}}}^{\left ( 3-3 \right )}\cdot\frac{{\text{x}}^{7}}{{\text{x}}^{2}} = {\color{green} {\text{m}}}^{0} \cdot\frac{{\text{x}}^{7}}{{\text{x}}^{2}}={\color{green} 1}\cdot\frac{{\text{x}}^{7}}{{\text{x}}^{2}}\)
Agora, observe as variáveis “x” e seus expoentes.
\(\dfrac{{\text{x}}^{7}}{{\text{x}}^{2}} = {\text{x}}^{\left ( 7-2 \right )} = {\text{x}}^{5}\)
\(\displaystyle{\color{green} 1}\cdot\frac{{\color{green} {\text{x}}}^{7}}{{\color{green} {\text{x}}}^{2}} = {\color{green} 1}\cdot {\color{green} {\text{x}}}^{\left ( 7-2 \right )} = {\color{green} 1}\cdot {\color{green} {\text{x}}}^{5} = {\color{green} {\text{x}}}^{5}\)
Então, você tem \(1 \cdot {\text{x}}^{5} = {\text{x}}^{5}\). - \(({\text{b}}^{4}\,{\text{x}}^{3}\,{\text{y}}\,{\text{b}})^{2}\,{\text{x}} =\) (
- \({-}{\text{m}}^{3}\,{\text{b}}^{2}\,{\text{mx}}^{3} =\) (
- \(-3^{3}\,{\text{a}}^{2}\,{\text{b}}^{4}( -2)^{2} =\) (