Introdução
Nesta lição, você encontrará o valor da inclinação de qualquer reta. A inclinação é geralmente representada pela variável m. Você também revisará o significado de uma inclinação zero e de uma inclinação indefinida.
Este vídeo ilustra o material da lição abaixo. Assistir ao vídeo é opcional.
O Valor da Inclinação de uma Reta
O que significa inclinação? Qual é a inclinação de uma reta?
Exemplo 1
Imagine que a reta na Figura 1 representa uma escada. Você precisa calcular a inclinação desta escada, ou seja, o quão íngreme ela é, comparando a altura de cada degrau com a largura de cada degrau.
Use uma fração para realizar esta comparação. A altura de cada degrau representa a variação em Y, e a largura de cada degrau representa a variação em X. Calcule a inclinação dividindo a variação em Y pela variação em X, ou \(\frac{variação\;em\;Y}{variação\;em\;X}\)
Veja aqui várias maneiras de pensar sobre a inclinação:
\begin{align*} Inclinação = \frac{variação\;em\;Y}{variação\;em\;X} = \frac{variação\;no\;valor\;de\;Y}{variação\;no\;valor\;de\;X} = \frac{quanto\;valor\;de\;Y\;varia}{quanto\;valor\;de\;X\;valor\;varia}\end{align*}
Para calcular a inclinação da escada, olhe para um degrau e veja que a variação em Y de um degrau é igual a 1 unidade no eixo y, então a variação em Y é 1. A variação em X também é de 1 unidade.
Divida a variação em Y pela variação em X para encontrar a inclinação.
\begin{align*} Inclinação = \frac{variação\;em\;Y}{variação\;em\;X} = \frac{1}{1} =1\end{align*}
Esta reta tem uma inclinação de 1.
Figura 1
Exemplo 2
Qual é a inclinação da reta na Figura 2?
Figura 2
Primeiro, desenhe uma escada para esta reta. Coloque os cantos da escada em pontos em que os valores do eixo x são números inteiros na reta. Veja a Figura 3.
Figura 3
Este degrau é mais íngreme que os degraus do Exemplo 1. Em vez de a variação em Y aumentar uma unidade para cada unidade de variação em X, ela aumenta duas unidades para cada unidade de variação em X:
\begin{align*} Inclinação = \frac{variação\;em\;Y}{variação\;em\;X} = \frac{2}{1} =2\end{align*}
A inclinação é 2, o que demonstra que quanto mais íngreme a reta, maior a inclinação.
Exemplo 3
Qual é a inclinação da reta na Figura 4?
Figura 4
Esta inclinação é negativa. Uma inclinação negativa faz com que a reta faça um ângulo descendente do canto superior esquerdo para o canto inferior direito. Independentemente de a inclinação ser positiva ou negativa, você ainda pode usar o método da escada para calculá-la.
Figura 5
Observe que os degraus estão descendo na direção negativa nesta reta. Neste caso, a variação em Y de cada degrau é de uma unidade na direção negativa, ou -1. A variação em X é de dois passos, ou unidades, na direção positiva, ou 2.
A inclinação geralmente é definida com a variável m. Para esta reta, esta inclinação é: \begin{align*} m = \frac{variação\;em\;Y}{variação\;em\;X} = \frac{-1}{2} \end{align*}
Exemplo 4
Qual é a inclinação da reta na Figura 6?
Figura 6
Esta reta não apresenta muitas interceptações em coordenadas com valores inteiros. Há uma em (0, 2), mas, para calcular a inclinação, é necessário identificar outro ponto. Observa-se outro ponto aproximadamente em (3, 1,6) (ver Figura 7).
Use estes valores para calcular a inclinação: \begin{align*} m = \frac{variação\;em\;Y}{variação\;em\;X} = \frac{-0.4}{3}\end{align*}
Observe que a variação em Y é de -0.4 porque você está descendo de 2 para 1.6. A variação em X é de 3, pois você está se movendo 3 unidades para a direita. Lembre-se também de que \(\frac{-0.4}{3}\) é o mesmo que \(\frac{0.4}{-3}\).
Agora, simplifique a fração:
\begin{align*} m = -\frac{-0.4}{3} = -0.13\end{align*}
A estimativa final da inclinação desta reta é \(m=-0.13\).
Figura 7
Inclinação Zero e Indefinida
Exemplo 5
Qual é a inclinação da reta horizontal na Figura 8?
A reta horizontal é plana. Use as mesmas técnicas da seção acima para calcular a inclinação. Se você pegar dois pontos na reta e comparar a variação em Y e a variação em X, você pode encontrar o m (inclinação). A variação em Y é de 0. Esta reta não sobe nem desce. A variação em X é de 1:
\begin{align*} m = \frac{variação\;em\;Y}{variação\;em\;X} = \frac{0}{1} = 0\end{align*}
0 dividido por qualquer coisa é sempre 0, então uma reta plana ou horizontal sempre terá uma inclinação de 0, ou \(m = 0\)
Figura 8
Exemplo 6
Qual é a inclinação da reta vertical na Figura 9?
Siga os mesmos passos acima. Comece escolhendo dois pontos. Neste caso, a variação em Y é de 1 unidade, mas a variação em X é de 0. A reta não tem uma variação em X nem se move para frente ou para trás no eixo x.
\begin{align*} m = \frac{variação\;em\;Y}{variação\;em\;X} = \frac{1}{0} = Indefinida \end{align*}
Você não pode dividir nada por 0. A divisão por zero é indefinida, o que significa que não faz sentido em matemática. Você também pode se referir à inclinação de qualquer reta com uma variação em X de 0 como indefinida.
Figura 9
Lembre-se
A fórmula da inclinação é \(m=\frac{variação\;em\;Y}{variação\;em\;X}\).
- m: a variável usada para a inclinação;
- Variação em Y: até onde o degrau sobe (ou desce);
- Variação em X: até onde vai o passo (direita ou esquerda).
- Uma inclinação negativa faz com que a reta faça um ângulo descendente do canto superior esquerdo do gráfico para o canto inferior direito;
- Uma inclinação positiva faz com que uma reta faça um ângulo ascendente do canto inferior esquerdo do gráfico até o canto superior direito;
- Verifique sempre se sua inclinação deve ser positiva ou negativa;
- As retas horizontais têm uma inclinação de 0;
- As retas verticais têm uma inclinação indefinida.
Exercícios de Prática
- Qual é a inclinação da reta A? (
Detalhes:
Passo 1: Localize dois pontos no gráfico que serão usados para encontrar a inclinação. Sempre que possível, escolha pontos cujos valores de x e y sejam números inteiros. Para este exemplo, escolha \((−2,3)\) e \((0,−4)\).
Passo 2: Desenhe uma reta vertical e uma reta horizontal para representar o “degrau” entre os dois pontos:
Passo 3: Encontre a variação em Y e a variação em X.
Passo 4: Encontre a inclinação. A inclinação é a variação em Y (ou o quanto a reta subiu ou desceu entre os dois pontos) dividida pela variação em x (ou o quanto o degrau se move para a direita). A inclinação é negativa, pois ela diminui quando você segue a reta da esquerda para a direita. A inclinação é:
\({\text{m}}= \dfrac{\text{variação em y}}{\text{variação em x}}=-\dfrac{7}{2}\)
\({\text{m}}= -\dfrac{7}{2}\) - Qual é a inclinação da reta B? (
- Qual é a inclinação da reta C? (
- Qual é a inclinação da reta D? (
- Qual é a inclinação da reta E? (
- Qual é a inclinação de uma reta horizontal? (
- Qual é a inclinação de uma reta vertical? (
Detalhes:
Passo 1: Localize dois pontos no gráfico que serão usados para encontrar a inclinação. Como não há um gráfico dessa reta, desenhe uma reta de exemplo e inclua dois pontos para que você possa encontrar a inclinação:
Passo 2: Desenhe uma reta vertical e uma reta horizontal para representar o “degrau” entre os dois pontos. Neste caso, você só pode desenhar uma reta vertical porque não há variação em X:
Passo 3: Encontre a variação em Y e a variação em X. A variação em Y, é 2. Não há variação em X, então a distância é 0.
Passo 4: Encontre a inclinação. A inclinação é a variação em Y (ou o quanto a reta subiu ou desceu entre os dois pontos) dividida pela variação em X (ou o quanto o degrau se moveu para a direita).
\({\text{m}}=\dfrac{\text{variação em y}}{\text{variação em x}}=\dfrac{2}{0}\)
Então, m = indefinido porque você não pode dividir por zero.