Introdução
Nesta lição, você aprenderá como resolver uma variável de um lado de uma equação quando frações, adição e subtração estiverem envolvidas.
Este vídeo ilustra o material da lição abaixo. Assistir ao vídeo é opcional.
- Encontrar o Valor de Uma Variável de Um Lado: Parte 4 - Adição e Subtração Usando Frações | Transcrição
Resolução de uma Variável de Um Lado Usando Adição, Subtração e Frações
Ao resolver variáveis com frações em vez de números inteiros positivos ou números naturais, some o inverso aditivo:
- Inverso aditivo: Um número que, quando somado a outro número, é igual a zero.
Exemplo 1
\begin{align*}x + \frac{1}{2} &= 2 &\color{navy}\small\text{Resolva o x}\\\\x + \frac{1}{2} \color{green}\mathbf{+ (-\frac{1}{2})} &= 2 \color{green}\mathbf{+ (-\frac{1}{2})} &\color{navy}\small\text{O inverso aditivo de \(\frac{1}{2}\) é \(-\frac{1}{2}\)}\\\\x &= 2 - \frac{1}{2} &\color{navy}\small\text{Simplificando ambos os lados}\\\\x &= 1\frac{1}{2} &\color{navy}\small\text{Subtrair \(\frac{1}{2}\) de 2 resulta em \(1\frac{1}{2}\)}\\\\\end{align*}
Se olhar para a reta numérica, você tem 2, \(1\frac{1}{2}\), \(1\), \(\frac{1}{2}\) e assim por diante. Se começar com 2 e subtrair \(\frac{1}{2}\), que é o mesmo que ir na direção negativa \(\frac{1}{2}\), você terminará em \(1\frac{1}{2}\).
Exemplo 2
Você pode pensar nisso de outra maneira, usando suas habilidades de adição e subtração de frações. Você sabe que precisa encontrar um denominador comum para ambas as frações se quiser realizar qualquer operação aritmética. Neste exemplo, você resolverá \(x\) novamente, mas desta vez encontrando um denominador comum:
\begin{align*}x + \frac{1}{2} &= 2 &\color{navy}\small\text{Resolva o x}\\\\x + \frac{1}{2} \color{green}\mathbf{+ (-\frac{1}{2})} &= 2 \color{green}\mathbf{+ (-\frac{1}{2})} &\color{navy}\small\text{O inverso aditivo de \(\frac{1}{2}\) é \(-\frac{1}{2}\)}\\\\x &= \frac{2}{1} - \frac{1}{2} &\color{navy}\small\text{Simplificando ambos os lados, observe: \(2 = \frac{2}{1}\)}\\\\x &= \frac{4}{2} - \frac{1}{2} &\color{navy}\small\text{O denominador comum para 1 e 2 é 2}\\\\x &= \frac{4 -1}{2} &\color{navy}\small\text{Subtraia o numerador}\\\\x &= \frac{3}{2} &\color{navy}\small\text{Simplifique o numerador: \(4 -1 = 3\)}\\\\\end{align*}
O \(\frac{3}{2}\) é o mesmo que \(1\frac{1}{2}\), então qualquer forma de se resolver o problema (Exemplo 1 ou 2) dá a mesma resposta.
É importante observar que a variável pode estar em qualquer lado do sinal de igual. Siga as mesmas regras para resolver a variável quando o x estiver no lado direito. Dizer \(6=x-\frac{2}{3}\) é o mesmo que dizer \(x-\frac{2}{3}=6\), então não importa de que lado do sinal de igual a variável está, desde que tudo permaneça igual.
Exemplo 3
\begin{align*}6 &= x - \frac{2}{3}&\color{navy}\small\text{Resolva o x}\\\\6 \color{green}\mathbf{+ (\frac{2}{3})} &= x - \frac{2}{3} \color{green}\mathbf{+ (\frac{2}{3})}&\color{navy}\small\text{O inverso aditivo de \(-\frac{2}{3}\) é \(+\frac{2}{3}\)}\\\\\frac{6}{1} + \frac{2}{3} &= x &\color{navy}\small\text{Simplificando ambos os lados, observe: \( 6= \frac{6}{1}\)}\\\\ \frac{18}{3} + \frac{2}{3} & = x&\color{navy}\small\text{O denominador comum de 1 e 3 é 3}\\\\\frac{18 + 2}{3}&=x &\color{navy}\small\text{Some o numerador e mantenha o denominador}\\\\x &= \frac{20}{3} &\color{navy}\small\text{Simplifique o numerador: \(18+2 = 20\)}\\\\\end{align*}
Você pode verificar esta resposta substituindo \(\frac{20}{3}\) por x para ver se isso funciona para a equação. Sim, funciona.
Lembre-se
- Ao lidar com um número inteiro positivo ou número natural, uma fração ou um decimal, some o inverso aditivo a ambos os lados da equação para isolar a variável.
- Como regra geral, você pode se lembrar de inversos aditivos como números que têm o sinal oposto (positivo ou negativo) do número. Isto também é verdade quando se trata de frações.
- Lembre-se também que, para somar ou subtrair frações, elas devem ter um denominador comum.
Problemas Práticos
- \(-\dfrac{9}{8}\;+\;{\text{g}}=-\dfrac{3}{8}\) (
Detalhes:
Neste exemplo, você está resolvendo a variável g. A única operação envolvida entre g e outros números é a adição. Resolva a expressão da mesma forma que você resolve equações com números inteiros. Decomponha a equação usando a ordem das operações de trás para frente.
Passo 1: Faça o inverso de qualquer adição ou subtração.
No lado esquerdo do sinal de igual, \(-\dfrac{9}{8}\) está sendo adicionado a g. Remova-o, some o inverso a ambos os lados da equação.
Some \(+\dfrac{9}{8}\) a ambos os lados.
O lado esquerdo da equação:
\(-\dfrac{9}{8}+\dfrac{9}{8}=0\), deixando apenas a variável g.
O lado direito da equação:
Como ambas as frações têm o mesmo denominador, você pode somar os numeradores.
\(-\dfrac{3}{8}+\dfrac{9}{8}=\dfrac{6}{8}\)
Normalmente, este seria o fim do seu trabalho, já que você isolou a solução da variável g, mas, neste caso, você ainda pode simplificar a fração.
O 6 e o 8 têm 2 como fator comum.
\(6=(2)( 3)\)
\(8=(2)(4)\)
Divida os números 2, deixando apenas \(\dfrac{3}{4}\).
\({\text{g}}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{\left ( 2 \right )\left ( 3 \right )}{\left ( 2 \right )\left ( 4 \right )}=\dfrac{{\color{Red} \cancel{\left ( 2 \right )} }\left ( 3 \right )}{{\color{Red} \cancel{\left ( 2 \right )}}\left ( 4 \right )}=\dfrac{3}{4}\)
A solução final é: \({\text{g}} = \dfrac{3}{4}\). - \({\text{r}}+\dfrac{1}{4}=-1\) (
- \({\text{x}}+\dfrac{5}{9}=\dfrac{1}{3}\) (
Detalhes:
Neste exemplo, você precisa isolar a variável x. Para fazer isto, some o inverso de \(\dfrac{5}{9}\) a ambos os lados da equação.
Some \(-\dfrac{5}{9}\) a ambos os lados.
O lado esquerdo da equação:
O \(\dfrac{5}{9}\) positivo mais o \(\dfrac{5}{9}\) negativo é igual a 0. Isso deixa apenas a variável x sozinha.
O lado direito da equação:
Para somar \(\dfrac{1}{3}+-\dfrac{5}{9}\), você precisa, primeiro, obter denominadores comuns.
O 9 é um múltiplo do 3, então o mínimo múltiplo comum é 9.
Multiplique \(\dfrac{1}{3}\) por 1 na forma de \(\dfrac{3}{3}\) para alterar seu denominador para 9.
\({\text{X}}=\left (\dfrac{1}{3} \right ){\color{TealBlue} \left (\dfrac{3}{3} \right )}{\color{Green} + {\color{Red} -}\dfrac{5}{9}}\)
\({\text{X}}=\dfrac{1 \cdot {\color{TealBlue} 3}}{3 \cdot {\color{TealBlue} 3}}{\color{Green} + {\color{Red} -}\dfrac{5}{9}}\)
\({\text{X}}={\color{TealBlue} \dfrac{3}{9}} {\color{Green} + {\color{Red} -}\dfrac{5}{9}}\)
Agora que as frações têm o mesmo denominador, você pode somar os numeradores.
\(3+-5=-2\)
\({\text{X}}=\dfrac{{\color{TealBlue} 3}}{9} + {\color{Red} -}\dfrac{{\color{Green} 5}}{9}\)
\({\text{X}}=\dfrac{{\color{TealBlue} 3+{\color{Red} -}{\color{Green} 5}}}{9}\)
\({\text{X}}=\dfrac{{\color{Red} -}{\color{Orange} 2}}{9}\)
A solução final é: \({\text{X}} = -\dfrac{2}{9}\). - \(-3+{\text{g}}=\dfrac{5}{2}\) (
- \(-4={\text{j}}+\dfrac{4}{3}\) (
- \(\dfrac{7}{6}={\text{A}}-\dfrac{1}{2}\) (
- \(\dfrac{-9}{8}=\dfrac{-3}{4}+{\text{a}}\) (