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Resolução de uma Variável de Um Lado Usando Adição, Subtração, Multiplicação e Divisão com Frações
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Introdução

Nesta lição, você praticará a resolução de equações para uma variável quando frações estiverem envolvidas.

Esses vídeos ilustram o material da lição abaixo. Assistir aos vídeos é opcional.

Resolução de Equações com Vários Passos com uma Variável de Um Lado

Às vezes, resolver uma variável requer mais de um passo. Esta lição demonstra como resolver uma variável quando há adição ou subtração, bem como multiplicação, envolvendo frações. É importante entender que os conceitos não mudam, independentemente de haver números inteiros positivos ou números naturais, decimais ou frações na equação. Os princípios de como resolver uma variável ainda são os mesmos.

Exemplo 1

Resolva \(x\): \(\frac{3}{8}x - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\)

O objetivo desses tipos de problemas é isolar \(x\). Faça isso trabalhando de trás para frente na ordem das operações. Nesta equação, isto significa que você começa somando \(\frac{1}{2}\) e depois multiplicando pelo inverso multiplicativo em ambos os lados.

\begin{align*}\frac{3}{8}x - \frac{1}{2} & = \frac{1}{4} &\color{navy}\small\text{Resolva o \(x\)}\\\\\frac{3}{8}x - \frac{1}{2} \color{green}\mathbf{+\frac{1}{2}} &= \frac{1}{4}\color{green}\mathbf{+\frac{1}{2}} &\color{navy}\small\text{O inverso aditivo de \(-\frac{1}{2}\) é \(+\frac{1}{2}\)}\\\\ \frac{3}{8}x &= \frac{1}{4}\color{green}\mathbf{+\frac{1}{2}} &\color{navy}\small\text{\(-\frac{1}{2}\) e \(+\frac{1}{2}\) cancelam um ao outro}\\\\ \frac{3}{8}x & = \frac{1}{4} + \frac{2}{4} &\color{navy}\small\text{Encontre o Denominador Comum}\\\\\frac{3}{8}x & = \frac{3}{4} &\color{navy}\small\text{Some}\\\\\frac{3}{8}x \color{green}\mathbf{(\frac{8}{3})} &= \frac{3}{4}\color{green}\mathbf{(\frac{8}{3})} &\color{navy}\small\text{O inverso multiplicativo de \(\frac{3}{8}\) é \(\frac{8}{3}\)}\\\\\frac{24}{24}x & = \frac{24}{12} &\color{navy}\small\text{Multiplique}\\\\x & = 2 &\color{navy}\small\text{Simplifique}\\\end{align*}

Exemplo 2

Resolva \(x\): \begin{align*} 3(\frac{-2x + 8}{5} - 3) + 17 = 20 \end{align*}

Divida estes problemas grandes em passos usando a Ordem das Operações (PEMDAS) e, em seguida, decomponha estes passos, voltando e fazendo a operação inversa para descobrir qual é a variável. É importante que você faça cada uma dessas operações em ambos os lados da equação.

\begin{align*}3(\frac{-2x + 8}{5} - 3) + 17 &= 20 & \color{navy}\small\text{Resolva o x} \\\\3(\frac{-2x + 8}{5} - 3) + 17 \color{green}\mathbf{-17} &= 20 \color{green}\mathbf{-17} & \color{navy}\small\text{O inverso aditivo de \(+17\) é \(-17\)} \\\\3(\frac{-2x + 8}{5} - 3) &= 3 & \color{navy}\small\text{Simplifique cada lado} \\\\\frac{\cancel 3(\frac{-2x + 8}{5} - 3)}{ \color{green}\mathbf{\cancel 3}} &= \frac{\cancel 3}{ \color{green}\mathbf{{\cancel 3}}} & \color{navy}\small\text{Divida cada lado por 3 e cancele os 3} \\\\\frac{-2x + 8}{5} - 3 &= 1 & \color{navy}\small\text{Simplifique cada lado} \\\\\frac{-2x + 8}{5} - 3 \color{green}\mathbf{+3} &= 1 \color{green}\mathbf{+3} & \color{navy}\small \text{O inverso aditivo de \(-3\) é \(+3\)} \\\\\frac{-2x + 8}{5} &= 4 & \color{navy}\small\text{Simplifique cada lado} \\\\\frac{-2x + 8}{5} \color{green}\mathbf{(5)} &= 4 \color{green}\mathbf{(5)} & \color{navy}\small \text{O inverso multiplicativo de \(\frac{1}{5}\) é \(5\)} \\\\ \frac{-2x + 8}{\cancel 5} \color{green}\mathbf{(\cancel 5)} &= 4 \color{green}\mathbf{(5)} & \color{navy}\small \text{\(\frac{1}{5}\) e \(5\) cancelam um ao outro} \\\\-2x + 8 &= 20 & \color{navy}\small\text{Simplifique cada lado} \\\\-2x + 8 \color{green}\mathbf{-8} &= 20 \color{green}\mathbf{-8} & \color{navy}\small\text{O inverso aditivo de \(+8\) é \(-8\)} \\\\-2x &= 12 & \color{navy}\small\text{Simplifique cada lado} \\\\-2x \color{green}\mathbf{(\frac{1}{-2})} &= 12 \color{green}\mathbf{(\frac{1}{-2})} & \color{navy}\small\text{O inverso multiplicativo de \(-2\) é \(\frac{1}{-2}\)} \\\\\cancel {-2}x \color{green}\mathbf{(\frac{1}{\cancel {-2}})} &= \frac{12}{-2}& \color{navy}\small\text{Cancele os \(-2\)} \\\\ x &= \frac{12}{-2}& \color{navy}\small\text{O valor de \(x\) é isolado} \\\\ x &= -6 & \color{navy}\small\text{Simplifique} \end{align*}

Lembre-se

  • Reescreva o problema após concluir cada passo para evitar perder o controle do que já foi feito.
  • Uma fração é uma forma de divisão.
  • Ao isolar uma variável, lembre-se de realizar as operações opostas em ambos os lados da equação para cancelá-las.

Problemas Práticos

Resolva a variável:
  1. \(\dfrac{3}{2}{\text{x}} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{13}{4}\) (
    Solução
    x
    Solução: 2
    )
  2. \(\dfrac{1}{3} - \dfrac{2}{3}{\text{x}} = 3\) (
    Solução
    x
    Solução: \(-4\)
    Detalhes:
    Uma coisa que você pode achar útil é, primeiro, transformar qualquer subtração em uma adição de um número negativo. Isto pode te ajudar a evitar perder o negativo.

    This image is divided into two sides with a dotted line running vertically through the equal signs, separating the left and right sides of the equations. The first line is the equation one-third minus two-thirds x equals 3. The second line is the equation one-third plus negative two-thirds x equals 3. 

    Para resolver a variável x, use a ordem das operações de trás para frente, mas, primeiro, encontre os passos na ordem das operações certa, supondo que você tenha um número específico para x.


    Se você fosse adiante, os passos seriam os seguintes:

    • Parênteses: Nenhum dessa vez.
    • Expoentes: Nenhum dessa vez.
    • Multiplicação e Divisão: entre \(\left (-\dfrac{2}{3} \right )\) e x, então, primeiro, multiplique o \(\left (-\dfrac{2}{3} \right ){\text{x}}\).
    • Adição e Subtração: Some \(\dfrac{1}{3}\) à resposta anterior.
    Trabalhando de trás para frente para resolver uma variável:



    Como você está resolvendo uma variável, faça estes passos na ordem inversa.



    Passo 1: Faça o inverso da adição de \(\dfrac{1}{3}\) a cada lado da equação. Em outras palavras, subtraia \(\dfrac{1}{3}\) de cada lado ou \({\color{Red}{\text{some um negativo}}}\) \(\dfrac{1}{3}\) a cada lado.


    This image is divided into two sides with a dotted line running vertically through the equal sign, separating the left and right sides of the equation. The equation is one-third plus negative one-third plus negative two-thirds x equals 3 plus negative one-third. The negative one-third on both sides of the equation are both in red, indicating that these are new to the equation. 

    No lado esquerdo:


    Os inversos aditivos \(-\dfrac{1}{3}\) e \(+\dfrac{1}{3}\) somados dão 0. Isso deixa apenas \(\left (-\dfrac{2}{3} \right ){\text{x}}\) no lado esquerdo.


    This image is divided into two sides with a dotted line running vertically through the equal signs, separating the left and right sides of three equations. The first equation is one-third plus negative one-third plus negative two-thirds x equals 3 plus negative one-third. The second equation has a bracket showing that the first part of the first equation becomes 0. The second equation is zero plus negative two-thirds x equals 3 plus negative one-third. The third equation is negative two-thirds x equals 3 plus negative one-third. 

    No lado direito:


    Você tem \(3+\esquerda (-\dfrac{1}{3} \direita )\).



    Para somar frações, é preciso ter denominadores comuns. O número 3 é um número inteiro positivo ou número natural, então tem um denominador invisível de 1. Você pode reescrevê-lo como \(\dfrac{3}{1}\)



    O máximo denominador comum entre 1 e 3 é 3. Multiplique \(\dfrac{3}{1}\) por \(\dfrac{3}{3}\) para obter o denominador comum 3.


    This image is divided into two sides with a dotted line running vertically through the equal signs, separating the left and right sides of three equations. The first equation is negative two-thirds x equals 3 plus negative one-third. The second equation is negative two-thirds x equals 3 over 1 times three-thirds plus negative one-third. The third equation has a bracket showing that the 3 over 1 times three-thirds in the second equation becomes nine-thirds in the third equation. The third equation is negative two-thirds x equals nine-thirds plus negative one-third. 

    Ao somar ou subtrair frações com denominadores comuns, basta somar ou subtrair os números no numerador. O denominador permanece igual porque é a parte da fração que informa o tamanho dos pedaços.


    \(\left ( \dfrac{9}{3} \right )+\left ( -\dfrac{1}{3} \right )=\dfrac{8}{3}\)



    Subtraia \(9-1\). O negativo em \(\left ( \dfrac{1}{3} \right )\) é o mesmo que somar um negativo 1 ou subtrair 1.



    Com isso, você fica com \(\left ( -\dfrac{2}{3} \right ){\text{x}}\) à esquerda e \(\dfrac{8}{3}\) à direita.


    This image is divided into two sides with a dotted line running vertically through the equal signs, separating the left and right sides of three equations. The first equation is negative two-thirds x equals nine-thirds plus negative one-third. The second equation is negative two-thirds x equals 9 minus 1 over 3. The third equation is negative two-thirds x equals eight thirds. The eight is colored blue to represent it is the result of nine minus 1 in the previous equation. 

    Passo 2: Multiplique ambos os lados pelo inverso multiplicativo de \(-\dfrac{2}{3}\).


    Isso deixará apenas 1x no lado esquerdo.


    This image is divided into two sides with a dotted line running vertically through the equal signs, separating the left and right sides of three equations. The first equation is negative three-halves times negative two-thirds x equals negative three-halves times eight-thirds. The second equation is one x equals negative 24-sixths. The third equation is x equals negative 4. 

    \(-\dfrac{24}{6}=-4\)


    A solução final é: \({\text{x}} = -4\).
    )
  3. \(3=-2{\text{D}}+\dfrac{2}{3}\) (
    Solução
    x
    Solução: \(-\dfrac{7}{6}\)
    )
  4. \(-\dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{3}{\text{U}}{-}\dfrac{1}{2}\) (
    Solução em Vídeo
    x
    Solução: \(-\dfrac{1}{4}\)
    Detalhes:

     | Transcrição)
  5. \(8 = (5{\text{x}} {-} 2) - 5\) (
    Solução
    x
    Solução: 3
    )
  6. \(2(\dfrac{{\text{F}}+1}{-2})-8=-4\) (
    Solução em Vídeo
    x
    Solução: \(-5\)
    Detalhes:

     | Transcrição)
  7. \(1.3{\text{d}} + 5.2 = -2.6\) (
    Solução
    x
    Solução: \(-6\)
    Detalhes:
    Use a ordem das operações de trás para frente para decompor esta equação e resolver a variável d. Este exemplo usa números decimais. Trate-os da mesma forma que números inteiros ou frações.

    Passo 1: Faça o oposto de qualquer adição ou subtração (S&A em PEMDAS).

    Neste exemplo, some o inverso aditivo de 5.2 positivo a ambos os lados.

    O inverso aditivo é \(-5.2\), então você precisa somar \(-5.2\) a ambos os lados da equação.

    Two equations, one on top of the other. The first equation is one-point-three d plus five-point-two equals negative two-point-six. The second equation is one-point-three d plus five-point-two plus negative five-point-two equals negative two-point-six plus negative five-point-two. The negative five-point-two on both sides of the equal sign are gold to indicate these are new. 

    O lado esquerdo do sinal de igual:


    \(5.2 + -5.2 = 0\), deixando \(1.3{\text{d}}\) à esquerda.



    O lado direito do sinal de igual:



    \(-2.6 + -5.2 = -7.8\)



    Lembre-se das regras de somar um negativo e um negativo. Eles apenas se tornam mais negativos.


    Three equations, one on top of the other. The first equation is one-point-three d plus five-point-two plus negative five-point-two equals negative two-point-six plus negative five-point-two. There is a bracket showing that the five-point-two plus negative five-point-two in the first equation becomes zero in the second equation. There is another bracket showing that the negative two-point-six plus negative five-point-two in the first equation becomes negative seven-point-eight in the second equation. The second equation is one-point-three d plus zero equals negative seven-point-eight. The third equation is one-point-three d equals negative seven-point-eight. 

    Passo 2: Faça o oposto de qualquer multiplicação ou divisão (D&M em PEMDAS).


    Neste exemplo, multiplique ambos os lados pelo inverso multiplicativo de \(1.3\). O inverso multiplicativo de um decimal é encontrado da mesma forma que o inverso multiplicativo de um número inteiro: \(\dfrac{1}{\text{decimal}}\).



    Multiplique ambos os lados por \(\dfrac{1}{1.3}\)


    Two equations, one above the other. The first equation is one-point-three d equals (negative seven-point-eight). The second equation is the same as the first except 1 over 1.3 is multiplied by each side of the equation. The second equation is (1 over 1.3) times 1.3 d equals (1 over 1.3) times negative seven-point-eight. 

    O lado esquerdo da equação:


    \(\left ( \dfrac{1}{1.3} \right )\left ( -1.3 \right ) = 1\), então você fica com 1d.



    O lado direito da equação:



    \(\left ( \dfrac{1}{1.3} \right )\left ( -7.8 \right ) = \dfrac{\left ( -7.8 \right )}{\left ( 1.3 \right )}=-6\)



    Você pode resolver isso escrevendo ou usando uma calculadora.


    Two equations, one over the other. The first equation is the same as the bottom equation of the previous image, which is (one-over-one-point-three) times one-point-three d equals (one-over-one-point-three) times (negative seven-point-eight). The fractions (one-over-one-point-three) on each side of the equal sign are blue. The second equation is (one-point-three over one-point-three) d equals (negative seven-point-eight over one-point-three). On both sides of the equation, the one-point-three is blue to help identify where it came from in the previous equation. 

    A solução final é: \({\text{d}} = -6\).


    Certifique-se de não perder o negativo na solução final.
    )
Resolução de uma Variável de Um Lado Usando Multiplicação e Divisão com Frações
Resolução de uma Variável nos Dois Lados da Equação