Introdução
Nesta lição, você praticará o uso de adição, subtração e multiplicação para resolver uma variável em um lado de uma equação.
Este vídeo ilustra o material da lição abaixo. Assistir ao vídeo é opcional.
- Encontrar o Valor de Uma Variável de Um Lado (Parte 3): Multiplicação, Adição e Subtração | Transcrição
Resolução de uma Variável de um Lado Usando Adição, Subtração e Multiplicação
Nem todos os problemas têm apenas uma coisa acontecendo de cada vez. Muitas vezes, multiplicações e adições ocorrem também. Você ainda deve somar o inverso aditivo a ambos os lados e multiplicar ambos os lados pelo inverso multiplicativo, mas o que vem primeiro?
Ao isolar uma variável, trabalhe de trás para frente ou na ordem das operações inversas.
- Some ou subtraia da esquerda para a direita.
- Multiplique ou Divida da esquerda para a direita.
- Avalie os expoentes.
- Simplifique tudo dentro dos parênteses.
Exemplo 1
\begin{align*}3x + 5 &= 17 &\color{navy}\small\text{Resolva o x}\\\\3x + 5 \color{green}\mathbf{-5} &= 17\color{green}\mathbf{-5} &\color{navy}\small\text{O inverso aditivo de 5 é -5}\\\\3x &= 12 &\color{navy}\small\text{Simplifique cada lado}\\\\3x \color{green}\mathbf{(\frac{1}{3})} &= 12\color{green}\mathbf{(\frac{1}{3})} &\color{navy}\small\text{O inverso multiplicativo de 3 é \(\frac{1}{3}\)}\\\\x &= 4 &\color{navy}\small\text{Simplifique cada lado}\\\\\end{align*}
Exemplo 2
\begin{align*}5x -8 &= 27 &\color{navy}\small\text{Resolva o x}\\\\5x -8 \color{green}\mathbf{+8} &= 27\color{green}\mathbf{+8} &\color{navy}\small\text{O inverso aditivo de -8 é +8}\\\\5x &= 35 &\color{navy}\small\text{Simplifique cada lado}\\\\5x \color{green}\mathbf{(\frac{1}{5})} &= 35\color{green}\mathbf{(\frac{1}{5})} &\color{navy}\small\text{O inverso multiplicativo de 5 é \(\frac{1}{5}\)}\\\\x &= 7 &\color{navy}\small\text{Simplifique cada lado}\\\\\end{align*}
Lembre-se, ao resolver uma variável, use a Ordem das Operações (PEMDAS), mas na ordem inversa. Os problemas práticos acima tratam apenas de multiplicação e adição/subtração, então some o inverso aditivo primeiro e depois multiplique pelo inverso multiplicativo.
Lembre-se
- Trabalhe de trás para frente na ordem das operações para isolar uma variável.
- Certifique-se de reescrever a equação depois de concluir um passo. Isso garantirá que nenhum passo seja pulado ou esquecido.
Problemas Práticos
- \(5{\text{M}} + 2 = 12\) (
Detalhes:
Quando há várias operações dentro de uma equação, identificar as operações e a ordem em que você deve realizá-las é importante.
Neste exemplo, há adição e multiplicação. Note que 5M significa 5 multiplicado por M.
Ao resolver uma variável, faça a ordem das operações ao contrário.
A ordem das operações é a seguinte:
1. Parênteses;
2. Expoentes;
3. Multiplicação e Divisão
4. Adição e Subtração
Passo 1: Para ir de trás para frente, você começa desfazendo a adição e a subtração:
Na equação \(5{\text{M}} + 2 = 12\), você precisa remover a adição de \(+2\) do lado esquerdo. Faça isso somando o inverso aditivo em ambos os lados. O inverso aditivo de \(+2\) é \(-2\).
O \(+2\) e o \(-2\) somam zero, então você fica com \(5{\text{M}}\) no lado esquerdo.
O \(12\) e o \(-2\) somam \(10\) no lado direito.
Passo 2: Desfaça qualquer multiplicação ou divisão:
O \(5\) está sendo multiplicado pelo \({\text{M}}\). Você precisa removê-lo para isolar o \({\text{M}}\). Faça isso multiplicando ambos os lados da equação pelo inverso multiplicativo de \(5\).
O inverso multiplicativo de \(5\) é \(\dfrac{1}{5}\).
\(5{\text{M}} = 10\)
\({\color{TealBlue} \dfrac{1}{5}}\left ( 5{\text{M}} \right ) = \left ( 10 \right ){\color{TealBlue} \dfrac{1}{5}}\)
Como \(\dfrac{1}{5} \times 5 = 1\), você fica com \(1{\text{M}}\). Qualquer coisa multiplicada por \(1\) ainda é ela mesma, então \(1{\text{M}} = {\text{M}}\).
\({\color{TealBlue} \dfrac{1}{5}}\left ( {\color{Green} 5}{\text{M}} \right ) = \left ( 10 \right ){\color{TealBlue} \dfrac{1}{5}}\)
\({\color{TealBlue} \dfrac{1}{5}}\cdot{\color{Green} \dfrac{5}{1}}\left ( {\text{M}} \right ) = \left ( 10 \right ){\color{TealBlue} \dfrac{1}{5}}\)
\(\dfrac{{\color{TealBlue} 1}*{\color{Green} 5}}{{\color{TealBlue} 5}*{\color{Green} 1}}\left ( {\text{M}} \right ) = \left ( 10 \right ){\color{TealBlue} \dfrac{1}{5}}\)
\(\dfrac{{\color{Orange} 5}}{{\color{Orange} 5}}\left ( {\text{M}} \right ) = \left ( 10 \right ){\color{TealBlue} \dfrac{1}{5}}\)
\({\color{Orange} 1}{\text{M}} = \left ( 10 \right ){\color{TealBlue} \dfrac{1}{5}}\)
Na imagem anterior, a multiplicação é escrita de várias maneiras diferentes.- Um número e uma variável próximos um do outro, sem nenhuma outra operação entre eles, significa que estão sendo multiplicados juntos. Por exemplo: \(5{\text{M}}\)
- Os parênteses são usados para mostrar a multiplicação entre os números dentro dos parênteses e os números fora dos parênteses.
- Um ponto é usado entre as frações para mostrar que elas estão sendo multiplicadas entre si.
- O símbolo \(*\) é usado dentro da fração para mostrar a multiplicação entre os números na fração.
A expressão \(\left ( 10 \right )\left ( \dfrac{1}{5} \right )\) é o mesmo que \(\dfrac{10}{5}=2\).
A solução final é: \({\text{M}} = 2\). - \(-2{\text{Q}} + 1 = 5\) (
- \(2{\text{n}} + 9 = -5\) (
- \(8{\text{k}} {-} 7 = 17\) (
Detalhes:
Neste problema de exemplo, duas operações estão acontecendo: multiplicação e adição de um número negativo.
Você precisa decompor nossa equação para isolar a variável \({\text{k}}\) em um lado do sinal de igual. Faça isso realizando a ordem das operações ao contrário.
Passo 1: Faça o inverso de qualquer adição ou subtração:
Neste exemplo, \(-7\) está sendo somado a \(8{\text{k}}\).
\(8{\text{k}} {-} 7 = 8{\text{k}} + (-7)\)
Para remover o \(-7\), some o inverso aditivo em ambos os lados.
O inverso aditivo de \(-7\) é \(+7\)
No lado esquerdo:
\(8{\text{k}} {-} 7 + 7 = 8{\text{k}} + 0 = 8{\text{k}}\)
No lado direito:
\(17 + 7 = 24\)
Passo 2: Agora, a única operação em \({\text{k}}\) é a multiplicação de \(8\). Isole \({\text{k}}\), multiplicando ambos os lados da equação pelo inverso multiplicativo de \(8\).
\(8\left ( \dfrac{1}{8} \right ) = 1\)
Portanto, o inverso multiplicativo de \(8\) é \(\dfrac{1}{8}\).
No lado esquerdo do sinal de igual:
\(\left ( \dfrac{1}{8} \right )\left ( 8{\text{k}} \right ) = 1{\text{k}} = {\text{k}}\)
No lado direito do sinal de igual:
\(\left ( \dfrac{1}{8} \right )24 = \left ( \dfrac{1}{8} \right )\left ( \dfrac{24}{1} \right ) = \left ( \dfrac{24}{8} \right ) = 3\)
\({\color{Green} 8}{\text{k}}={\color{Orange} 24}\)
\({\color{TealBlue} \left ( \dfrac{1}{8} \right )} 8{\color{Green} {\text{k}}} = {\color{TealBlue} \left ( \dfrac{1}{8} \right )}{\color{Orange} 24}\)
\(\left ( \dfrac{{\color{TealBlue} 1}*{\color{Green} 8}}{{\color{TealBlue} 8}*{\color{Green} 1}} \right ){\text{k}} = \dfrac{{\color{TealBlue} 1}*{\color{Orange} 24}}{{\color{TealBlue} 8}*{\color{Orange} 1}}\)
\(1{\text{k}}=\dfrac{{\color{DarkOrange} 24}}{{\color{TealBlue} 8}}\)
\({\text{k}}=3\)
A solução final é: \({\text{k}} = 3\). - \(-3{\text{x}} + 14 = -7\) (
- \(-5{\text{q}} {-} 29 = 41\) (
- \(10{\text{f}} {-} 6 = 24\) (