Resolução de uma Variável de Um Lado Usando Multiplicação e Divisão com Frações

Introdução

Nesta lição, você praticará as habilidades necessárias para resolver uma variável em um lado de uma equação usando multiplicação, divisão e frações.

Este vídeo ilustra o material da lição abaixo. Assistir ao vídeo é opcional.

Encontrar o Valor de Uma Variável de Um Lado: Parte 5 - Multiplicação e Divisão com Frações | Transcrição

Resolução de uma Variável de Um Lado Usando Multiplicação e Divisão com Frações

Revise os inversos multiplicativos das frações:

Inverso Multiplicativo: Um número que, quando multiplicado por outro número, é igual a 1.

Ao resolver equações em que a variável está sendo multiplicada por uma fração, siga os mesmos passos de quando era um número inteiro positivo ou número natural e multiplique ambos os lados pelo inverso multiplicativo.

O inverso multiplicativo é o recíproco da fração original, mas o sinal permanece o mesmo:

$ {\dfrac {2} {5}}$ → $ {\dfrac {5} {2}}$
$ {-\dfrac {1}{3}}$ → $−3$
$ {\dfrac {7} {8}}$ → $ {\dfrac {8} {7}} $

Exemplo 1

Resolva $x$: $\frac{2}{5}x = 8$

Frações são o mesmo que divisão. A expressão $\frac{2}{5}x=8$ é o mesmo que $(2\div5)x=8$. Para resolver esta equação, isole $x$. Isto significa que o $x$ precisa estar sozinho no lado esquerdo.

Se você quiser isolar $x$, precisa remover o $\frac{2}{5}$, transformando-o em 1. Faça isso multiplicando ambos os lados da equação pelo inverso multiplicativo de $\frac{2}{5}$, que é $\frac{5}{2}$. Resolva esta equação usando o inverso multiplicativo:

\begin{align*}\frac{2}{5}x &=8 &\color{navy}\small\text{Simplifique cada lado}\\\\ \frac{2}{5}x \color{green}\mathbf{(\frac{5}{2})} &= \frac{8}{1} \color{green}\mathbf{(\frac{5}{2})} &\color{navy}\small\text{O inverso multiplicativo de $\frac{2}{5}$ é $\frac{5}{2}$}\\\\ x &= \frac{8}{1} \color{green}\mathbf{(\frac{5}{2})} &\color{navy}\small\text{ Lado esquerdo: $\frac{2}{5}$ e $\frac{5}{2}$ cancelarão um ao outro}\\\\ x &= \frac{40}{2} &\color{navy}\small\text{Multiplique}\\\\x&=20 &\color{navy}\small\text{Simplifique}\\\\\end{align*}

Lembre-se, você pode encontrar o inverso multiplicativo de uma fração trocando as localizações dos números no numerador e no denominador. $\frac{2}{5}\cdot \frac{5}{2} = 1$

Para verificar a resposta, substitua 20 por $x$ na equação original $\frac{2}{5}x=8$.

\begin{align*} \frac{2}{5}x &= 8 &\color{navy}\small\text{Verifique o valor de x}\\\\ \frac{2}{5}(20) &= 8 &\color{navy}\small\text{Substitua 20 por x}\\\\ \frac{2}{5}\cdot \frac{20}{1} &= 8 &\color{navy}\small\text{Reescreva 20 como $\frac{20}{1}$}\\\\ \frac{40}{5} &= 8 &\color{navy}\small\text{Multiplique}\\\\ 8&=8 &\color{navy}\small\text{Simplifique}\\\\\\\\ \end{align*}

Como o lado esquerdo é igual ao lado direito da equação ($ 8 = 8$) e torna esta afirmação verdadeira, $x$ é igual a 20.

No exemplo anterior, você viu uma equação que estava sendo multiplicada por uma fração. Uma fração inclui, inerentemente, uma divisão. Como você resolveria uma expressão como a do Exemplo 2?

Exemplo 2

\begin{align*}\frac{x}{3} &= 6 &\color{navy}\small\text{Resolva o valor de x}\\\\\frac{1}{3}x &= 6 &\color{navy}\small\text{Lado esquerdo: $\frac{x}{3}$ é o mesmo que $\frac{1}{3}x$}\\\\\frac{1}{3}x\color{green}\mathbf{(\frac{3}{1})} &= \frac{6}{1} \color{green}\mathbf{(\frac{3}{1})} &\color{navy}\small\text{O inverso multiplicativo de $\frac{1}{3}$ é $\frac{3}{1}$}\\\\ x &= \frac{6}{1} \color{green}\mathbf{(\frac{3}{1})} &\color{navy}\small\text{Lado esquerdo: $\frac{1}{3}$ e $\frac{3}{1}$ cancelarão um ao outro}\\\\ x &= \frac{18}{1} &\color{navy}\small\text{Multiplique}\\\\x &= 18 &\color{navy}\small\text{Simplifique}\\\\\end{align*}

Para verificar a resposta, substitua 18 por $x$. \begin{align*} \frac{x}{3} &= 6 &\color{navy}\small\text{Verifique o valor de x}\\\\ \frac{18}{3} &= 6 &\color{navy}\small\text{Substitua 18 por x}\\\\ 6 &= 6 &\color{navy}\small\text{Simplifique} \end{align*}

Isto funciona. Além disso, $18\div3=6$, então $x=18$ é a solução correta para esta equação.

Lembre-se

Frações são um tipo de divisão.
Multiplique ambos os lados da equação pelo inverso multiplicativo de um coeficiente para isolar a variável.

$-7{\text{M}}=-\dfrac{7}{4}$ (
Solução

x

Solução: $\dfrac{1}{4}$
Detalhes:
Neste exemplo, você quer obter a variável M sozinha em um lado da equação. Faça isso decompondo a equação usando a ordem das operações de trás para frente.

A única operação no mesmo lado da equação que M é a multiplicação.

Resolva M, multiplicando ambos os lados da equação pelo inverso multiplicativo de $−7$.

$(-7)(-\dfrac{1}{7})=1$, então você multiplicará ambos os lados por $-\dfrac{1}{7}$.
$The equation -7M=\frac{-7}{4}. There is a vertical dashed line through the equal sign separating the left and right sides of the equation. On the second line is the equation is (\frac{-1}{7})(-7M)=(\frac{-1}{7})(\frac{-7}{4}).$

O lado esquerdo da equação:

$-\dfrac{1}{7}$ multiplicado por $−7$ é 1, pois eles são os inversos multiplicativos um do outro.

O lado direito da equação:

Faça a multiplicação cruzada dos numeradores e denominadores para obter $\dfrac{7}{28}$.

$The equation (\frac{-1}{7})(-7M)=(\frac{-1}{7})(\frac{-7}{4}). There is a vertical dashed line through the equal sign separating the left and right sides of the equation. On the second line is the equation \frac{(-1)\times(-7)}{7 \times 1}(M)=\frac{(-1)\times(-7)}{7 \times 4}. The third line is the equation \frac{7}{7}(M)=\frac{7}{28}. The fourth line is the equation M=\frac{7}{28}.$

A fração $\dfrac{7}{28}$ pode ser simplificada para $\dfrac{1}{4}$.

${\text{M}}={\color{TealBlue} \dfrac{7}{28}=\dfrac{7 \times 1}{7 \times 4}=\dfrac{{\color{Red} \cancel{7}}\times 1}{{\color{Red} \cancel{7}} \times 4}=\dfrac{1}{4}}$

A solução final é: ${\text{M}} = \dfrac{1}{4}$.

)
$\dfrac{6}{5}{\text{B}}=3$ (
Solução

x

Solução: $\dfrac{5}{2}$

)
$-\dfrac{2}{3}{\text{g}}=-1$ (
Solução em Vídeo

x

Solução: $\dfrac{3}{2}$
Detalhes:

| Transcrição)
$-\dfrac{2}{7}=-\dfrac{3}{2}{\text{x}}$ (
Solução

x

Solução: $\dfrac{4}{21}$
Detalhes:
Neste exemplo, você quer resolver a variável X. Não importa se ela está no lado direito ou esquerdo da equação. Faça exatamente o mesmo processo de qualquer maneira.

Para isolar X, multiplique ambos os lados pelo inverso multiplicativo de $(-\dfrac{3}{2})$.

$(-\dfrac{3}{2})(-\dfrac{2}{3})= 1$, então você multiplicará ambos os lados por $(-\dfrac{2}{3})$.
$The equation \frac{-2}{7}=\frac{-3}{2}x. There is a vertical dashed line through the equal sign separating the left and right sides of the equation. On the second line is the equation (\frac{-2}{3})\frac{-2}{7}=(\frac{-2}{3})\frac{-3}{2}x.$

Lembre-se, não importa se o negativo está no numerador, no denominador ou apenas na frente da fração. Enquanto houver apenas um sinal negativo, a fração inteira será negativa.

Agora, faça a multiplicação cruzada dos numeradores e denominadores para simplificar ambos os lados da equação.

$The equation (\frac{-2}{3})\frac{-2}{7}=(\frac{-2}{3})\frac{-3}{2}x. There is a vertical dashed line through the equal sign separating the left and right sides of the equation. On the second line is the equation \frac{4}{21}=\frac{6}{6}x. On the third line is the equation \frac{4}{21}=1x.$

Neste exemplo, a variável X está no lado direito do sinal de igual. Não importa de que lado ela esteja, desde que esteja sozinha.

$\dfrac{4}{21}={\text{X}}$

Portanto: ${\text{X}} = \dfrac{4}{21}$

A expressão $\dfrac{4}{21}$ não pode ser simplificada.

A solução final é: ${\text{X}} = \dfrac{4}{21}$.

)
$4{\text{j}}=\dfrac{3}{2}$ (
Solução

x

Solução: $\dfrac{3}{8}$

)
$-\dfrac{3}{5}=\dfrac{3}{2}{\text{D}}$ (
Solução

x

Solução: $-\dfrac{2}{5}$

)
$-\dfrac{{\text{J}}}{3}=-\dfrac{7}{6}$ (
Solução em Vídeo

x

Solução: $\dfrac{7}{2}$
Detalhes:

| Transcrição)

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