Introdução
Nesta lição, você aprenderá a resolver uma equação que tem variáveis em ambos os lados do sinal de igual. Você aprenderá a combinar termos semelhantes, distribuir quando necessário, somar um inverso aditivo e multiplicar pelo inverso multiplicativo.
Esses vídeos ilustram o material da lição abaixo. Assistir aos vídeos é opcional.
- Ferramentas para Resolver uma Variável nos Dois Lados da Equação| Transcrição
- Encontrar o Valor de uma Variável em Ambos os Lados da Equação| Transcrição
Resolução de Uma Variável nos Dois Lados da Equação
Existem equações que têm variáveis em mais de um lugar. Por exemplo, \( 3 + 5p = 2p - 5\).
Resolver equações com variáveis em ambos os lados pode parecer assustador, mas quando você aprender a usar certas ferramentas, parecerá mais fácil. Veja aqui uma lista de algumas ferramentas que podem te ajudar quando estiver resolvendo uma variável que aparece em ambos os lados de uma equação:
Combine os Termos Semelhantes.
Os termos semelhantes são termos que têm a mesma variável com os mesmos coeficientes, como:
- \(2x\) e \(5x\)
- \(4\) e \(22.6\)
- \(4x^{2}\) e \(7x^{2}\)
Distribua quando necessário.
A propriedade distributiva da multiplicação é uma ferramenta útil para simplificar equações com variáveis. Se alguma coisa entre parênteses estiver sendo multiplicada, você pode multiplicar cada número ou variável dentro dos parênteses pelo que estiver multiplicando para remover os parênteses:
\begin{align*} 3(1+x) &= 3\cdot1 + 3 \cdot x &\color{navy}\small\text{Distribua o \(3\) dentro dos parênteses} \end{align*}
A equação agora é \(3+3x\).
Some o inverso aditivo dos termos em ambos os lados.
- O inverso aditivo é o número que você pode somar a algo para torná-lo igual a 0:
\begin{align*}3x + 1 &= 5 &\color{navy}\small\text{Resolva o x}\\\\3x + 1 \color{green}\mathbf{-1} &=5\color{green}\mathbf{-1} &\color{navy}\small\text{O inverso aditivo de \(+1\) é \(-1\)}\\\\ 3x &= 4 &\color{navy}\small\text{Simplifique cada lado} \end{align*}
Multiplique ambos os lados pelo inverso multiplicativo.
- O inverso multiplicativo é um número pelo qual você pode multiplicar ambos os lados da equação para cancelar um número que está usando para multiplicar. Isso pode te ajudar especialmente se você precisar isolar uma variável que faz parte de uma operação de multiplicação:
\begin{align*}3x&=2 &\color{navy}\small\text{Resolva o x}\\\\ 3x\color{green}\mathbf{(\frac{1}{3})} &= (2)\color{green}\mathbf{(\frac{1}{3})}&\color{navy}\small\text{O inverso multiplicativo de 3 é \(\frac{1}{3}\)}\\\\ x &= \frac{2}{3} &\color{navy}\small\text{Simplifique cada lado} \end{align*}
Lembre-se, você pode somar, subtrair, multiplicar ou dividir o quanto quiser, desde que faça isso em ambos os lados da equação.
Exemplo 1
\begin{align*}3 + 5p &=2p -4 &\color{navy}\small\text{Resolva o p}\\\\3 + 5p\color{green}\mathbf{-2p} &=2p -4\color{green}\mathbf{-2p} &\color{navy}\small\text{O inverso aditivo de 2p é -2p}\\\\3 + 3p &= -4 &\color{navy}\small\text{Simplifique cada lado}\\\\3 + 3p\color{green}\mathbf{-3} &= -4\color{green}\mathbf{-3} &\color{navy}\small\text{O inverso aditivo de 3 é -3}\\\\3p &= -7&\color{navy}\small\text{Simplifique cada lado}\\\\3p\color{green}\mathbf{(\frac{1}{3})} &= -7\color{green}\mathbf{(\frac{1}{3})}&\color{navy}\small\text{O inverso multiplicativo de \(3\) é \(\frac{1}{3}\)}\\\\ p &= \frac{-7}{3} &\color{navy}\small\text{Simplifique cada lado}\\\end{align*}
A solução é \(p=-\frac{7}{3}\). Para verificar se a resposta está correta, resolva a equação original usando \(-\frac{7}{3}\) em qualquer lugar onde p for usado. Se fizer isso, você obterá a mesma resposta em ambos os lados do sinal de igual, então a solução está correta.
Exemplo 2
\begin{align*}7 + x + 3 &= 20 - 5x + 2x &\color{navy}\small\text{Resolva o \(x\)}\\\\10 + x &= 20 - 3x &\color{navy}\small\text{Combine os termos semelhantes}\\\\10 + x \color{green}\mathbf{-10} &=20 -3x\color{green}\mathbf{-10} &\color{navy}\small\text{O inverso aditivo de 10 é -10}\\\\x &= 10 - 3x &\color{navy}\small\text{Simplifique cada lado}\\\\ x\color{green}\mathbf{+3x} &= 10 - 3x\color{green}\mathbf{+3x} &\color{navy}\small\text{O inverso aditivo de -3x é 3x}\\\\4x &= 10&\color{navy}\small\text{Simplifique cada lado}\\\\4x\color{green}\mathbf{(\frac{1}{4})} &= 10\color{green}\mathbf{(\frac{1}{4})}&\color{navy}\small\text{O inverso multiplicativo de 4 é \(\frac{1}{4}\) }\\\\x &= \frac{10}{4}&\color{navy}\small\text{Simplifique cada lado}\\\\x &= \frac{5}{2}&\color{navy}\small\text{Simplifique a fração} \end{align*}
Inicialmente, você obteve \(x=\frac{10}{4}\), mas como 10 e 4 têm fatores comuns, você pode simplificar essa fração. O 10 pode ser fatorado em \(5\times2\), e o 4 pode ser fatorado em \(2\times2\). Como ambos os números têm um fator de 2, você pode cancelar um 2 de cada uma das fatorações. A resposta final é \(x=\frac{5}{2}\).
Lembre-se
- Você pode calcular qualquer operação necessária ao resolver uma variável, desde que faça isso em ambos os lados da equação.
- Ao resolver uma equação com variáveis em ambos os lados, mova todas as variáveis para um lado e todos os números regulares para o lado oposto usando a combinação de termos semelhantes.
- Lembre-se de usar ferramentas como combinar termos semelhantes, distribuir quando necessário, somar um inverso aditivo e multiplicar pelo inverso multiplicativo para simplificar a equação.
Problemas Práticos
- \(2 - 7{\text{g}} = -9{\text{g}}\) (
- \(12 + 3{\text{W}} = -4 + {\text{W}}\) (
Detalhes:
Realize a ordem das operações ao contrário para encontrar o W.
Passo 1: Combine termos semelhantes usando adição ou subtração. Agora, você tem termos contendo W em ambos os lados da equação:
\(12 + 3{\text{W}} = -4 + {\text{W}}\)
Primeiro, subtraia o W de ambos os lados para reunir todos os termos que contêm W no lado esquerdo da equação:
O que resulta em:
\(12 + 2{\text{W}} = -4 {\color{Red} + 0}\)
Que é igual a:
\(12 + 2{\text{W}} = -4\)
Em seguida, subtraia 12 de ambos os lados da equação:
O que resulta em:
\(2{\text{W}} = {\color{Red} - 16}\)
Passo 2: Desfaça qualquer multiplicação usando o inverso multiplicativo ou a divisão para isolar o W.
\({\color{Cyan} \left [ \dfrac{1}{2} \right ]}2{\text{W}}=-16{\color{Cyan} \left [ \dfrac{1}{2} \right ]}\)
No lado esquerdo da equação: \(\left (\dfrac{1}{2} \right )\left ( 2 \right )\), você tem 1W.
No lado direito da equação: \(-16\dfrac{1}{2}=\dfrac{-16}{1}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{-16\times1}{1\times2}=\dfrac{-16}{2}=-8\).
A resposta final é: \({\text{W}} = {\color{Red} - 8}\). - \({\text{m}} {-} 3 = 2{\text{m}} - 3\) (
- \(3 - 6{\text{P}} = -6 - 7{\text{P}}\) (
Detalhes:
Realize a ordem das operações ao contrário para encontrar o W.
Passo 1: Combine termos semelhantes usando adição ou subtração.
Agora, você tem termos contendo P em ambos os lados da equação:
\(3 - 6{\text{P}} = -6 - 7{\text{P}}\)
Primeiro, some 7P a ambos os lados para reunir todos os termos que contêm P no lado esquerdo da equação:
O que resulta em:
Em seguida, subtraia 3 de ambos os lados da equação:
O que resulta em:
\({\text{P}} = {\color{Red} -9}\) - \(6{\text{x}} {-} 1 = -5 + 7{\text{x}}\) (
- \(7 - 5{\text{C}} = -9 - 9{\text{C}}\) (