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Simplificação de Frações
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Introdução

Nesta lição, você aprenderá a simplificar frações.

Para simplificar uma fração, primeiro você fará a fatoração prima do numerador e do denominador. Todos os fatores que estão na parte superior e inferior serão “cancelados”, o que significa que eles se dividem para igualar 1. Você pode riscar os números que se cancelam e se livrar deles.

Esses vídeos ilustram o material da lição abaixo. Assistir aos vídeos é opcional.

Simplificação de Frações

Exemplo 1

\(\frac{126}{210}\)

Decomponha esses dois números em suas respectivas fatorações primas. Comece com o numerador, ou o número de cima. Por favor, use uma calculadora conforme precisar ao realizar a fatoração prima de números grandes.

Como 126 é um número par, você sabe que ele tem pelo menos um 2 dentro dele. Quando você divide 126 por 2, obtém 63. O 63 não é um número primo, então você precisa decompô-lo ainda mais.

Image with the number 126 at the top. Under 126 are two lines pointing down and outward, one to the right and one to the left. The left line points to the number 2. The right line points to the number 63. 

Figura 1

Qualquer número múltiplo de nove tem dígitos que somam nove. \(6+3=9\), indicando que 9 é um fator do número 63. Um dos fatos da multiplicação que você memorizou é \(9\times7=63\), então você pode fatorar esse número em 7 e 9.

O 7 é um número primo, mas 9 não é; pode ser subdividido em \(3\times3\).

Image with the number 126 at the top. Under 126 are two lines pointing down and outward, one to the right and one to the left. The left line points to the number 2. The right line points to the number 63. Under 63 are two lines pointing down and outward, one to the right and one to the left. The left line points to the number 9. The right line points to the number 7. Under 9 are two lines pointing down and outward, one to the right and one to the left. The left line points to the number 3. The right line points to the number 3.

Figura 2

A fatoração prima de 126 é \(2\times3\times3\times7\).

Em seguida, complete a fatoração prima do denominador. O 210 é um número par, então você sabe que há um 2 nele. \(210\div2=105\), e como há um 5 no final de 105, você pode fazer a fatoração por 5. \(105\div5=21\), e 21 pode ser fatorado em 3 e 7.

Image with the number 210 at the top. Under 210 are two lines pointing down and outward, one to the right and one to the left. The left line points to the number 2. The right line points to the number 105. Under 105 are two lines pointing down and outward, one to the right and one to the left. The left line points to the number 5. The right line points to the number 21. Under 21 are two lines pointing down and outward, one to the right and one to the left. The left line points to the number 3. The right line points to the number 7.

Figura 3

A fatoração prima de \(210\) é \(2\times3\times5\times7\).

Agora, você pode simplificar \(\frac{126}{210}\) usando os fatores primos para o numerador e o denominador.

\begin{align*}&\frac{126}{210} &\color{navy}\small\text{Simplifique a fração}\\\\&\frac{2\times3\times3\times7}{2\times3\times5\times7} &\color{navy}\small\text{Use a fatoração prima}\\\\&\frac{\cancel 2}{\cancel 2}\cdot \frac{\cancel 3}{\cancel 3}\cdot \frac{\cancel 7}{\cancel 7}\cdot \frac{3}{5}&\color{navy}\small\text{Cancele os fatores primos comuns}\\\\&1\cdot1\cdot 1\cdot \frac{3}{5}&\color{navy}\small\text{Qualquer número dividido por ele mesmo é 1 \(\)}\\\\&\frac{3}{5}&\color{navy}\small\text{Simplifique a fração}\\\\\end{align*}

Quaisquer fatores que sejam iguais na parte superior e inferior serão “cancelados”, o que significa que eles se dividem para igualar 1. Esta é uma das regras de divisão: qualquer número dividido por si mesmo é sempre 1. Isso permite que você escreva sua fração em sua forma mais simples. O que resta é \(\frac{3}{5}\).

Para verificar seu trabalho, você pode calcular \(\frac{126}{210}\) em uma calculadora, que lhe dará 0.6. Quando você calcula \(\frac{3}{5}\), também lhe dá 0.6. Isso confirma que você simplificou a fração corretamente.

Outros Exemplos de Simplificação de Frações

Exemplo 2

\(\frac{12}{66}\)

Dividindo 12 em sua fatoração prima, você obtém \(2\times2\times3\). Dividindo 66 em sua fatoração prima, você obtém \(2\times3\times11\).

Image with two factorizations. The first factorization starts with the number 12 at the top. Under 12 are two lines pointing down and outward, one to the right and one to the left. The left line points to the number 2. The right line points to the number 6. Under 6 are two lines pointing down and outward, one to the right and one to the left. The left line points to the number 2. The right line points to the number 3. Under this factorization it says 2 times 2 times 3. The second factorization starts with the number 66 at the top. Under 66 are two lines pointing down and outward, one to the right and one to the left. The left line points to the number 6. The right line points to the number 11. Under 6 are two lines pointing down and outward, one to the right and one to the left. The left line points to the number 2. The right line points to the number 3. Under this factorization it says 2 times 3 times 11.

Figura 4

Use o conceito de cancelar os fatores comuns para cancelar um 2 e um 3 de cima e de baixo.

\begin{align*}&\frac{12}{66} &\color{navy}\small\text{Simplifique a fração}\\\\&\frac{2\times2\times3}{2\times3\times11} &\color{navy}\small\text{Use a fatoração prima}\\\\&\frac{\cancel 2}{\cancel 2}\cdot \frac{\cancel 3}{\cancel 3}\cdot \frac{2}{11}&\color{navy}\small\text{Cancele os fatores primos comuns}\\\\&1\cdot1\cdot \frac{2}{11}&\color{navy}\small\text{Qualquer número dividido por ele mesmo é \(1\)}\\\\&\frac{2}{11}&\color{navy}\small\text{Simplifique a fração}\\\\\end{align*}

O que resta é \(\frac{2}{11}\). Isto significa que a forma mais simples de \(\frac{12}{66}\) é \(\frac{2}{11}\).

Simplificação de Frações Usando Fatores que Não São Primos

Às vezes, você não precisa decompor uma fração em sua fatoração prima para chegar à sua forma mais simples. Você pode reconhecer um fator comum que não é um número primo e usar este fator em seu lugar.

Exemplo 3

\(\frac{24}{48}\)

Neste exemplo, você pode reconhecer que o 12 é um fator comum de 24 e 48.

\begin{align*}&\frac{24}{48} &\color{navy}\small\text{Simplifique a fração}\\\\&\frac{2 \cdot \cancel{12}} {4\cdot \cancel {12}} &\color{navy}\small\text{Identifique um fator comum}\\\\&\frac{2}{4} &\color{navy}\small\text{Cancele o fator comum}\\\\& \frac{\cancel{2}\cdot1}{\cancel{2}\cdot2} &\color{navy}\small\text{Identifique um fator comum}\\\\&\frac{1}{2} &\color{navy}\small\text{Cancele o fator comum}\\\\\end{align*}

A forma mais simplificada de \(\frac{24}{48}\) é \(\frac{1}{2}\).

Simplificação de Frações Sem um Fator Comum

E quanto às frações que não têm nenhum fator comum, como \(\frac{20}{21}\)?

Fatorar 20 dá \(2\times2\times5\), e fatorar 21 dá \(3\times7\).

\begin{align*} \frac{20}{21} = \frac{2\cdot2\cdot 5}{3\cdot7} = \frac{20}{21} \end{align*}

Não há fatores comuns entre o numerador e o denominador. Isto significa que a fração \(\frac{20}{21}\) já está simplificada ao máximo. Embora nenhum dos números seja primo, eles são considerados primos entre si porque não têm fatores comuns.

Lembre-se

  • Por favor, use uma calculadora conforme necessário para realizar a fatoração prima.
  • Qualquer número múltiplo de nove tem dígitos que, quando somados, dão nove.
  • Quando tudo se cancela no numerador e no denominador, a fração simplificada é 1, não 0.
  • Use o máximo divisor comum para simplificar as frações.

Problemas Práticos

Simplifique as seguintes frações até os termos mais baixos:
  1. \(\dfrac{4}{6}\) (
    Solução
    x
    Solução: \(\displaystyle \frac{4}{6}=\frac{2\times2}{3\times2}=\frac{2}{3}\)
    Detalhes:
    Esta barra de fração representa 4 de 6 ou \(\dfrac{4}{6}\). Quatro estão sombreadas em laranja de um total de seis.
    This image shows a fraction: four over six. Four is highlighted in orange.A long horizontal rectangle divided into 6 sections. The left four sections are shaded orange. The right two sections are white.

    Para simplificar a fração, divida o numerador e o denominador por 2.
    This is the image of a fraction. The top or numerator contains 4 divided by 2. The denominator or bottom contains 6 divided by 2.

    Para simplificar a barra de fração, agrupe 2 retângulos em uma barra. Isto é a mesma coisa que dividir por 2.
    A long horizontal rectangle divided into 6 sections. The left four sections are shaded orange. The right two sections are white.A long horizontal rectangle divided into 3 sections. The left two sections are shaded orange. The right section is white.

    A fração resultante é \(\dfrac{2}{3}\); e 2 de 3 barras estão sombreadas em laranja.
    An equation of 4 divided by 2 over 6 divided by 2 equal 2 over 3.A long horizontal rectangle divided into 3 sections. The left two sections are shaded orange. The right section is white.
    )
  2. \(\dfrac{10}{25}\) (
    Solução
    x
    Solução: \(\displaystyle \frac{10}{25}=\frac{2\times5}{5\times5}=\frac{2}{5}\)
    Detalhes: Você pode simplificar uma fração se o numerador e o denominador compartilham pelo menos um fator comum. Primeiro, você deve encontrar as fatorações desses dois números.

    Fatoração prima de 10:
    O 10 é divisível por 2, pois é um número par.
    \(2 \times 5 = 10\)

    Image with the number 10 at the top. Under 10 are two lines pointing down and outward, one to the right and one to the left. The left line points to the number 2, which is orange. The right line points to the number 5, which is also orange. There is a multiplication sign between the numbers 2 and 5 indicating that 2 times 5 is 10.

    Fatoração prima de 25:
    O 25 termina em 5, e qualquer número que termina em 5 ou 0 é divisível por 5.

    \(5 \times 5 = 25\)


    Image with the number 25 at the top. Under 25 are two lines pointing down and outward, one to the right and one to the left. The left line points to the number 5, which is orange. The right line points to the number 5, which is also orange. There is a multiplication sign between the numbers 5 and 5 indicating that 5 times 5 is 25.

    O número 5 é um número primo, então a fatoração prima de 25 é simplesmente \(5 \times 5\).
    Agora, que você tem a fatoração prima do numerador e do denominador, você pode reescrever a fração desta forma: \(\displaystyle \frac{10}{25}=\frac{2\times5}{5\times5}\)



    Como o numerador e o denominador compartilham um 5, e como \(\dfrac{5}{5}=1\), você pode reescrever a fração desta forma: \(\displaystyle \frac{2\times5}{5\times5}=\frac{2}{5}\times1\)



    Qualquer coisa multiplicada por 1 é apenas ela mesma, então \(\displaystyle \frac{2}{5}\times1=\frac{2}{5}\).



    Não há outros fatores comuns entre 2 e 5, então esta fração já está simplificada o máximo possível.



    A solução final: \(\dfrac{2}{5}\)
    )
  3. \(\dfrac{4}{7}\) (
    Solução
    x
    Solução: \(\dfrac{4}{7}\) já está simplificada até os termos menores.
    Detalhes:
    O 4 e o 7 não compartilham um fator comum além de 1; portanto, esta resposta já está escrita em seus termos mais simples ou básicos.
    )
  4. \(\dfrac{30}{48}\) (
    Solução em Vídeo
    x
    Solução: \(\displaystyle \frac{30}{48}=\frac{2\times3\times5}{2\times2\times2\times2\times3}=\frac{5}{8}\)
    Detalhes:

     | Transcrição)
  5. \(\dfrac{42}{70}\) (
    Solução em Vídeo
    x
    Solução:\(\displaystyle \frac{42}{70}=\frac{2\times3\times7}{2\times5\times7}=\frac{3}{5}\)
    Detalhes:

     | Transcrição)
  6. \(\dfrac{12}{84}\) (
    Solução
    x
    Solução: \(\displaystyle \frac{12}{84}=\frac{2\times2\times3}{2\times2\times3\times7}=\frac{1}{7}\)
    Detalhes:
    Se o numerador e o denominador de uma fração tiverem fatores comuns, a fração pode ser simplificada.

    Primeiro, encontre a fatoração prima do numerador:
    O 12 é divisível por 2 porque é um número par, e todos os números pares são divisíveis por 2:
    \(2 \times 6 = 12\)

    Image with 12 at top and two lines pointing down to the left and right. The left line points to a 2, which is orange, and the right arrow points to a 6. There is a multiplication sign between the 2 and 6, indicating that 2 times 6 is 12.

    O 6 não é primo, então você deve fatorar o 6 também.

    Como 6 é par, ele pode ser dividido por 2:
    \(2 \times 3 = 6\)

    Os números 2 e 3 são primos, então aqui é até onde você consegue fatorar este número.

    Image with 12 at top and two lines pointing down to the left and right. The left line points to a 2, which is orange, and the right line points to a 6. There is a multiplication sign between the 2 and 6, indicating that 2 times 6 is 12. Under the 6 are two more lines pointing down to the left and right. The left line points to an orange 2 and the right line points to an orange 3. There is a multiplication sign between the 2 and 3, indicating that 2 times 3 is 6. 

    A fatoração prima de 12 é \(2 \times 2 \times 3\).

    Em seguida, encontre a fatoração prima do denominador:
    O 84 é par, então você pode começar dividindo por 2:
    \(2 \times 42 = 84\)

    Image with 84 at top and two lines pointing down to the left and right. The left line points to an orange 2, and the right line points to a 42. There is a multiplication sign between the 2 and 42, indicating that 2 times 42 is 84.

    O número 2 é primo, mas 42 não, então você ainda precisa encontrar os fatores de 42.

    O 42 é par, então você pode dividi-lo por 2:
    \(2 \times 21 = 42\)

    Image with 84 at top and two lines pointing down to the left and right. The left line points to an orange 2, and the right line points to a 42. There is a multiplication sign between the 2 and 42, indicating that 2 times 42 is 84. Under the 42 are two more lines pointing down to the left and right. The left line points to an orange 2 and the right line points to a 21. There is a multiplication sign between the 2 and 21, indicating that 2 times 21 is 42. 

    O número 2 é primo, mas 21 não é primo, então você precisa fatorar 21.

    O 21 é divisível por 3:
    \(3 \times 7 = 21\)

    Image with 84 at top and two lines pointing down to the left and right. The left line points to an orange 2, and the right line points to a 42. There is a multiplication sign between the 2 and 42, indicating that 2 times 42 is 84. Under the 42 are two more lines pointing down to the left and right. The left line points to an orange 2 and the right points to a 21. There is a multiplication sign between the 2 and 21, indicating that 2 times 21 is 42. Under the 21 are two more lines pointing down to the left and right. The left line points to an orange 3 and the right points to an orange 7. There is a multiplication sign between the 3 and 7, indicating that 3 times 7 is 21.

    Tanto 3 quanto 7 são primos, então você só pode fatorar até aqui.

    A fatoração prima de 21 é \(2 \times 2 \times 3 \times 7\).

    Use as fatorações primas para determinar se há algum fator comum no numerador e no denominador.

    \(\displaystyle \frac{12}{84}=\frac{2\times2\times3}{2\times2\times3\times7}\)

    Aqui, você vê que tanto o numerador quanto o denominador têm dois 2 e um 3 em comum. Você pode reescrever a fração desta forma:

    \(\displaystyle \frac{12}{84}=\frac{2\times2\times3}{2\times2\times3\times7}=\frac{2}{2}\times\frac{2}{2}\times\frac{3}{3}\times\frac{1}{7}\)

    Observação: Você pode pensar que resta apenas 0 no numerador depois de separar o \(2 \times 2 \times 3\), mas ainda resta um 1 porque se houvesse um 0 no numerador, o numerador seria igual a 0. Há sempre um 1 invisível sendo multiplicado por tudo. \(2 \times 2 \times 3 \times {\color{red}1} = 12\).

    Qualquer coisa dividida por si mesma é igual a 1.

    \(\displaystyle \frac{2}{2}\times\frac{2}{2}\times\frac{3}{3}\times\frac{1}{7}=1\times1\times1\times\frac{1}{7}\)

    Qualquer coisa multiplicada por 1 é apenas ela mesma, então você fica com \(\dfrac{1}{7}\).

    \(\dfrac{12}{84}\) pode ser simplificada para \(\dfrac{1}{7}\).
    )
Introdução às Frações
Adição e Subtração de Frações com Denominadores Comuns